上册 1.1 数列极限 第16题
📝 题目
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
解题分析：利用对数转换法．
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}\left\{\ln f\left(\frac{1}{n}\right)+\ln f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\ln f\left(\frac{n}{n}\right)\right\}}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow n} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln f\left(\frac{1}{n}\right)}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) d x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln \left(1+\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{d} x=\left.[(1+x) \ln (1+x)-x]\right|_{0} ^{1}=2 \ln 2-1
$$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{2 \ln 2-\mathrm{i}}=\frac{4}{\mathrm{e}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n) \frac{n}{2 n}}=\lim _{n \rightarrow x} \frac{1}{n} \sqrt[n]{2 n(n+1) \cdots(2 n-1)} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{2}}=\frac{4}{\mathrm{e}} .
$$
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{2 n}{n}\right)}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln (1+2 x) \mathrm{d} x}=\mathrm{e}^{\frac{3}{2} \ln 3-1}=\frac{3 \sqrt{3}}{\mathrm{e}} .
$$
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(2+\frac{1}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{n}{n}\right)}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln (2+x) \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{3 \ln 3-2 \ln 2-1}=\frac{9}{4 \mathrm{e}} .
$$
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$
$$
=\int_{0}^{1} \ln (2+2 x) \mathrm{d} x=\left.x \ln (2+2 x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{2 x}{2+2 x} \mathrm{~d} x=3 \ln 2-1 .
$$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left[1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}\right]=\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left.x \ln \left(1+x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\ln 2+\frac{\pi}{2}-2 .
$$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{\ln 2+\frac{\pi}{2}-2}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x}=\mathrm{e}^{\frac{\pi^{2}}{12}}$ ．
注： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\right) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将乘积极限转化为指数形式
对于形如 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ 的极限，通常取自然对数转化为求和极限。令 $L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{f(1/n) f(2/n) \cdots f(n/n)}$，则 $\ln L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f(i/n)$。
公式：$\ln L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f(i/n)$
提示：注意 $f$ 正值保证对数有意义。
步骤 2/8
目标：将求和极限转化为定积分
由于 $f \in C[0,1]$ 且取正值，$\ln f$ 连续，因此 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f(i/n)$ 是 $\ln f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1 \ln f(x) \, dx$。所以 $\ln L = \int_0^1 \ln f(x) \, dx$，从而 $L = e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(i/n) = \int_0^1 g(x) \, dx$
提示：确认 $\ln f$ 在 $[0,1]$ 上连续，黎曼和才成立。
步骤 3/8
目标：计算定积分
对于具体函数，计算积分 $\int_0^1 \ln f(x) \, dx$。例如 (2) 中 $f(x)=1+x$，则 $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx = [(1+x)\ln(1+x)-x]_0^1 = 2\ln 2 - 1$。
公式：$\int \ln(1+x) \, dx = (1+x)\ln(1+x)-x + C$
提示：分部积分时注意 $\ln(1+x)$ 的原函数。
步骤 4/8
目标：得出极限结果
由 $L = e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}$ 代入积分值即得。例如 (2) 结果为 $e^{2\ln 2 - 1} = \frac{4}{e}$。
提示：指数运算时注意 $e^{2\ln 2} = 4$。
步骤 5/8
目标：处理其他变体（如 (4) 中因子调整）
对于 (4) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1)\cdots(2n-1)}$，可改写为 $\frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)\cdots(2n)} \cdot \sqrt[n]{\frac{n}{2n}} = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)\cdots(2n)} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{2}}$。由于 $\sqrt[n]{\frac{1}{2}} \to 1$，故极限与 (3) 相同，为 $\frac{4}{e}$。
公式：$\sqrt[n]{a_n} \to 1$ 若 $a_n \to 1$
提示：注意 $\sqrt[n]{n} \to 1$，但此处 $\sqrt[n]{1/2} \to 1$。
步骤 6/8
目标：处理含 $2n$ 的乘积（如 (5)）
对于 (5) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4)\cdots(3n)}$，提取 $n$ 得 $\sqrt[n]{(1+2/n)(1+4/n)\cdots(1+2n/n)}$，对应 $f(x)=1+2x$，积分 $\int_0^1 \ln(1+2x) \, dx = \frac{3}{2}\ln 3 - 1$，结果为 $\frac{3\sqrt{3}}{e}$。
公式：$\int \ln(1+2x) \, dx = \frac{1+2x}{2}\ln(1+2x) - x + C$
提示：注意积分限对应 $x$ 从 $0$ 到 $1$。
步骤 7/8
目标：处理含 $2n$ 的乘积（如 (6)）
对于 (6) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2n+1)(2n+2)\cdots(3n)}$，提取 $n$ 得 $\sqrt[n]{(2+1/n)(2+2/n)\cdots(2+n/n)}$，对应 $f(x)=2+x$，积分 $\int_0^1 \ln(2+x) \, dx = 3\ln 3 - 2\ln 2 - 1$，结果为 $\frac{9}{4e}$。
公式：$\int \ln(2+x) \, dx = (2+x)\ln(2+x) - x + C$
提示：注意积分结果化简。
步骤 8/8
目标：处理含平方项（如 (8)）
对于 (8) $\lim_{n\to\infty} \ln \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (1+k^2/n^2)}$，转化为 $\int_0^1 \ln(1+x^2) \, dx$，分部积分得 $\ln 2 + \frac{\pi}{2} - 2$。
公式：$\int \ln(1+x^2) \, dx = x\ln(1+x^2) - 2x + 2\arctan x + C$
提示：注意 $\int \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx = 2x - 2\arctan x$。
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