上册 1.1 数列极限 第21题

\section*{解题过程：} （1）由 $x_{n+1}-x_{n}=-x_{n}^{2}<0$ 知，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单减．由 $01$ 时级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫，当 $\alpha \leqslant 1$ 时级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 发散． （3）因 $\displaystyle 02$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ 收敛，当 $p \leqslant 2$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ 发散． （4）要证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ ，只要证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{2 n}=1$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}{(2 n+2)-2 n}=1$ ，转证 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}\right)=2$ ．证明如下： 由 $\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{a_{n}}>0$ 知，$\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加．假如数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 必有极限 $a$ ． 由 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ 知，$\displaystyle a=a+\frac{1}{a}$ ，由此 $\displaystyle \frac{1}{a}=0$ ，矛盾．这表明 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加无上界．因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$ ． 因 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，故 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\frac{1}{a_{n}^{2}}$ ．则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(a_{n+1}+a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}+a_{n}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{a_{n}^{2}}+1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2+\frac{1}{a_{n}^{2}}\right)=2 $$ 由 stolz 公式， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}{(2 n+2)-2 n}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}\right)=1$ ．