上册 1.1 数列极限 第22题
📝 题目
22．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$ ，其中 $a>0 .(a=3$ ：浙江师大 $2011 / 2005$ ，首都师大 $2013 ; a=7:$ 山东大学；$a=e:$ 上海铁道学院；$a=2$ ：扬州大学2007，中山大学2009）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle a_{n}=\frac{a^{n}}{n!}$ ．因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{a^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n+1}=0$ ，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$.
（2）令 $\displaystyle a_{n}=\frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!} \frac{3^{n} n!}{n^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{3} \mathrm{e}<1$ ，故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$.
（3）先证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a^{n}}=0(a>1)$ 。令 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{a^{n}}$ ，因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{a^{n+1}} \frac{a^{n}}{n}=\frac{1}{a}<1$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a^{n}}=0$ ．
特别地： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{\sqrt{2}^{n}}\right)^{2}=0 ; \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{(\sqrt[5]{\mathrm{e}})^{n}}\right)^{5}=0$ ．
（4）令 $\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n} n!}{n^{n}}(a>0)$ ，则
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^{n}}{a^{n} n!}=a \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\frac{a}{\mathrm{e}}
$$
当 $a<\mathrm{e}$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．
特别地， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5}{2}\right)^{n} \frac{n!}{n^{n}}=0 ; \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明极限 (1) 的思路：利用比值判别法证明级数收敛
令 $a_n = \frac{a^n}{n!}$，考虑比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}$。由于 $\lim_{n\to\infty} \frac{a}{n+1} = 0 < 1$，根据比值判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，从而通项趋于零，即 $\lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!}=0$。
公式：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a}{n+1}$
提示：注意比值判别法要求极限小于1，这里极限为0，显然成立。
步骤 2/7
目标：证明极限 (2) 的思路：类似地利用比值判别法
令 $a_n = \frac{n^n}{3^n n!}$，计算比值：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{3^n n!}{n^n} = \frac{1}{3} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。取极限得 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{3} < 1$，故级数收敛，通项趋于零。
公式：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
提示：注意 $(1+1/n)^n$ 的极限是 $e$，不要误算为1。
步骤 3/7
目标：证明极限 (3) 中第一个极限：先证一般形式 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n}=0$ ($a>1$)
令 $b_n = \frac{n}{a^n}$，则 $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n+1}{a^{n+1}} \cdot \frac{a^n}{n} = \frac{1}{a} \cdot \frac{n+1}{n} \to \frac{1}{a} < 1$，故级数 $\sum b_n$ 收敛，从而 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n}=0$。
公式：$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{a} \cdot \frac{n+1}{n}$
提示：注意 $a>1$ 的条件，否则极限不为0。
步骤 4/7
目标：利用一般形式证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}=0$
取 $a=\sqrt{2}>1$，则 $\frac{n^2}{2^n} = \left(\frac{n}{(\sqrt{2})^n}\right)^2$。由一般形式，$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(\sqrt{2})^n}=0$，平方后极限仍为0。
公式：$\frac{n^2}{2^n} = \left(\frac{n}{(\sqrt{2})^n}\right)^2$
提示：注意指数运算：$2^n = (\sqrt{2})^{2n}$，但这里只需将底数化为 $\sqrt{2}$。
步骤 5/7
目标：利用一般形式证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^5}{e^n}=0$
取 $a=e^{1/5}>1$，则 $\frac{n^5}{e^n} = \left(\frac{n}{(e^{1/5})^n}\right)^5$。由一般形式，$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{(e^{1/5})^n}=0$，五次方后极限仍为0。
公式：$\frac{n^5}{e^n} = \left(\frac{n}{(e^{1/5})^n}\right)^5$
提示：注意 $e^{1/5}$ 是 $e$ 的五次方根，大于1。
步骤 6/7
目标：证明极限 (4) 中一般形式：$\lim_{n\to\infty} \frac{a^n n!}{n^n}=0$ 当 $a
令 $x_n = \frac{a^n n!}{n^n}$，计算比值：$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n n!} = a \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = a \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{a}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$。取极限得 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a}{e}$。当 $a
公式：$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$
提示：注意 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，因此比值极限为 $a/e$。
步骤 7/7
目标：应用一般形式证明 (4) 中的两个具体极限
对于 $\lim_{n\to\infty} \frac{5^n n!}{(2n)^n}$，可改写为 $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^n \frac{n!}{n^n}$。这里 $a=5/2=2.5
公式：$\frac{5^n n!}{(2n)^n} = \left(\frac{5}{2}\right)^n \frac{n!}{n^n}$
提示：注意 $\frac{5}{2}=2.5
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