上册 1.1 数列极限 第23题

\section*{解题过程：} （1）记 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{a^{n}}$ ．因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{n+1}{n} \frac{1}{a}\right|=\frac{1}{|a|}$ ，故当 $|a|>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a^{n}}$ 收玫；当 $|a| \leqslant 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a^{n}}$ 发散。 情形1：当 $|a|>1$ 时，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ 存在．记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}$ ，则 $$ \frac{1}{a} x_{n}=\frac{1}{a^{2}}+\cdots+\frac{n-1}{a^{n}}+\frac{n}{a^{n+1}},\left(1-\frac{1}{a}\right) x_{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}+\cdots+\frac{1}{a^{n}}-\frac{n}{a^{n+1}}=\frac{1}{a} \frac{1-a^{-n}}{1-a^{-1}}-\frac{n}{a^{n+1}} $$ 故 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{a-1}\left(\frac{1}{a} \frac{1-a^{-n}}{1-a^{-1}}-\frac{n}{a^{n+1}}\right)=\frac{a}{(a-1)^{2}} $$ 情形2：当 $|a| \leqslant 1$ 时，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ 不存在． （2）记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}$ ，则 $$ x_{n}-\frac{1}{2} x_{n}=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)-\frac{2 n-1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}+\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]-\frac{2 n-1}{2^{n}} . $$ 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=3$ ．