上册 1.1 数列极限 第24题
📝 题目
24．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+x\right)^{\frac{1}{2 x-1}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 x-1} \ln \left(x^{2}+x\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+1}{2\left(x^{2}+x\right)}}=1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\tan \frac{\alpha}{n}}{1-\tan \frac{\alpha}{n}}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\tan \frac{\alpha}{n}\right)^{n} \frac{1}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\tan \frac{\alpha}{n}\right)^{n}}=\mathrm{e}^{2 \alpha}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left[n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6 n^{3}}+o\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left[1-\frac{1}{6 n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right]$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(-\frac{1}{6 n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)=-\frac{1}{6} .
$$
所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x=\frac{n}{1+n}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)$ ，从而
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}=\mathrm{e}^{-1} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}
$$
因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(3 \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(3 \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}\right)}{x}}=\mathrm{e}^{3 \ln 3-2 \ln 2}=\frac{9}{4}$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}=\frac{9}{4}$ 。故
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}=\frac{9}{4} \mathrm{e}^{-1}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算极限(1)
求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}\right)^n$。利用重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$，但此处有高阶小量。取对数：$\lim_{n\to\infty} n \ln\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}\right)$。利用等价无穷小：当 $x\to0$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，这里 $x=\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}$，所以 $\ln\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}$。于是 $n \ln(\cdots) \sim n\left(\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^2}\right) = 1 \pm \frac{1}{n} \to 1$。故原极限 $= e^1 = e$。
公式：$\ln(1+x) \sim x \ (x\to 0)$
提示：注意 $\pm$ 表示两个极限分别计算，但结果相同。
步骤 2/7
目标：计算极限(2)
求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}\right)^n$。类似地，取对数：$\lim_{n\to\infty} n \ln\left(1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}\right)$。令 $x=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}$，当 $n\to\infty$ 时 $x\to0$，$\ln(1+x)\sim x$。所以 $n\ln(\cdots) \sim n\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \to \frac{1}{2}$。故原极限 $= e^{1/2}$。
公式：$\ln(1+x)\sim x$
提示：注意 $\frac{1}{2n}$ 是主要项，$\frac{1}{n^2}$ 是高阶小量。
步骤 3/7
目标：计算极限(3)
求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n-1]{n^2+n}$。转化为指数形式：$\lim_{n\to\infty} (n^2+n)^{\frac{1}{2n-1}}$。取对数：$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n^2+n)}{2n-1}$。分子分母同时趋于无穷，使用洛必达法则（将 $n$ 视为连续变量）：$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x^2+x)}{2x-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x+1}{x^2+x}}{2} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{2(x^2+x)} = 0$。故原极限 $= e^0 = 1$。
公式：洛必达法则
提示：注意 $2n-1$ 是奇数，开方为正，极限为1。
步骤 4/7
目标：计算极限(4)
求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \tan^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right)$。利用正切加法公式：$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}$。令 $\theta = \frac{\alpha}{n}$，则 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) = \frac{1+\tan(\alpha/n)}{1-\tan(\alpha/n)}$。于是原极限 $= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1+\tan(\alpha/n)}{1-\tan(\alpha/n)}\right)^n$。分别考虑分子和分母：$\lim_{n\to\infty} (1+\tan(\alpha/n))^n = e^{\alpha}$（因为 $\tan(\alpha/n)\sim \alpha/n$），同理 $\lim_{n\to\infty} (1-\tan(\alpha/n))^n = e^{-\alpha}$。故原极限 $= e^{\alpha} / e^{-\alpha} = e^{2\alpha}$。
公式：$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$，$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{a}{n})^n=e^a$
提示：注意 $\tan(\alpha/n)\sim \alpha/n$，且分母极限不为0。
步骤 5/7
目标：计算极限(5)
求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(n\sin\frac{1}{n}\right)^{n^2}$。先取对数：$\lim_{n\to\infty} n^2 \ln\left(n\sin\frac{1}{n}\right)$。利用 $\sin x$ 的泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，令 $x=1/n$，则 $n\sin(1/n) = n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + o(1/n^3)\right) = 1 - \frac{1}{6n^2} + o(1/n^2)$。于是 $\ln\left(n\sin\frac{1}{n}\right) = \ln\left(1 - \frac{1}{6n^2} + o(1/n^2)\right) \sim -\frac{1}{6n^2}$。所以 $n^2 \ln(\cdots) \sim n^2 \cdot (-\frac{1}{6n^2}) = -\frac{1}{6}$。故原极限 $= e^{-1/6}$。
公式：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，$\ln(1+x)\sim x$
提示：注意展开到二阶项，因为 $n^2$ 乘以 $1/n^2$ 项才得常数。
步骤 6/7
目标：计算极限(6)第一部分：积分
求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \, dx\right)^n$。先计算积分：$\int_1^2 (1+x)^{1/n} dx = \left[\frac{n}{n+1} (1+x)^{1+1/n}\right]_1^2 = \frac{n}{n+1} \left(3^{1+1/n} - 2^{1+1/n}\right)$。于是原极限 $= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \left(3^{1+1/n} - 2^{1+1/n}\right)^n$。而 $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}$。所以原极限 $= e^{-1} \lim_{n\to\infty} \left(3^{1+1/n} - 2^{1+1/n}\right)^n$。
公式：$\int (1+x)^{1/n} dx = \frac{n}{n+1}(1+x)^{1+1/n}$
提示：注意积分限代入时不要出错。
步骤 7/7
目标：计算极限(6)第二部分：剩余极限
求 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(3^{1+1/n} - 2^{1+1/n}\right)^n$。令 $x=1/n$，则 $x\to 0^+$，极限化为 $\lim_{x\to 0^+} \left(3\cdot 3^x - 2\cdot 2^x\right)^{1/x}$。取对数：$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(3\cdot 3^x - 2\cdot 2^x)}{x}$。当 $x\to0$ 时，$3^x = 1 + x\ln 3 + o(x)$，$2^x = 1 + x\ln 2 + o(x)$，所以 $3\cdot 3^x - 2\cdot 2^x = 3(1+x\ln 3) - 2(1+x\ln 2) + o(x) = 1 + x(3\ln 3 - 2\ln 2) + o(x)$。于是 $\ln(3\cdot 3^x - 2\cdot 2^x) \sim x(3\ln 3 - 2\ln 2)$。故极限 $= 3\ln 3 - 2\ln 2 = \ln(27/4)$。所以原极限 $= e^{\ln(27/4)} = 27/4$。因此最终结果 $= e^{-1} \cdot 27/4 = \frac{27}{4e}$。
公式：$a^x = e^{x\ln a} \sim 1 + x\ln a$
提示：注意 $3\ln 3 - 2\ln 2 = \ln(3^3) - \ln(2^2) = \ln(27/4)$。
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