上册 1.1 数列极限 第26题
📝 题目
26．若存在常数 $M>0$ ，对 $\forall n$ ，有 $A_{n}=\left|x_{n}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{1}\right| \leqslant M$ ，则称 $\left\{x_{n}\right\}$为有界变差。证明：数列 $\left\{A_{n}\right\}$ 收敛，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 也收玫。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知条件可知，数列 $\left\{A_{n}\right\}$ 单调递增有界，所以数列 $\left\{A_{n}\right\}$ 收玫．
由已知条件可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}-x_{n-1}\right|$ 的部分和有界，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 绝对收敛，从而数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 也收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析数列{A_n}的单调性
由定义，$A_n = \sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}|$，则$A_{n+1} = A_n + |x_{n+1} - x_n| \geq A_n$，故$\{A_n\}$单调递增。
公式：$A_{n+1} = A_n + |x_{n+1} - x_n|$
提示：注意$A_n$是累加和，每一项非负，因此单调递增。
步骤 2/6
目标：证明数列{A_n}有界
由已知条件，存在常数$M>0$，使得对任意$n$，$A_n \leq M$，因此$\{A_n\}$有上界。
公式：$A_n \leq M$
提示：有界性直接来自题目条件，注意$M$是常数。
步骤 3/6
目标：得出数列{A_n}收敛
单调递增且有上界的数列必收敛，故$\{A_n\}$收敛。设$\lim_{n\to\infty} A_n = A$。
公式：单调有界收敛定理
提示：单调递增有上界是收敛的充分条件。
步骤 4/6
目标：将{A_n}收敛转化为级数收敛
由于$A_n = \sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}|$，且$\{A_n\}$收敛，则级数$\sum_{k=2}^\infty |x_k - x_{k-1}|$收敛，即绝对收敛。
公式：$\sum_{k=2}^\infty |x_k - x_{k-1}|$收敛
提示：部分和数列收敛等价于级数收敛。
步骤 5/6
目标：由绝对收敛推出原级数收敛
绝对收敛的级数必收敛，因此级数$\sum_{k=2}^\infty (x_k - x_{k-1})$收敛。
公式：$\sum_{k=2}^\infty (x_k - x_{k-1})$收敛
提示：绝对收敛是更强的条件，但这里直接由绝对值级数收敛可得原级数收敛。
步骤 6/6
目标：由级数收敛推出数列{x_n}收敛
注意到$x_n = x_1 + \sum_{k=2}^n (x_k - x_{k-1})$，由于级数$\sum_{k=2}^\infty (x_k - x_{k-1})$收敛，其部分和数列$\{x_n - x_1\}$收敛，从而$\{x_n\}$收敛。
公式：$x_n = x_1 + \sum_{k=2}^n (x_k - x_{k-1})$
提示：级数收敛等价于部分和数列收敛。
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