上册 1.1 数列极限 第27题
📝 题目
27．证明下列命题．
（1）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle m=\frac{1+r}{2}$ ，则 $\left|q_{n}\right|
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入压缩因子并放缩
令 $m = \frac{1+r}{2}$，由于 $|q_n| \leq r < 1$，则 $|q_n| < m < 1$。于是有 $|x_{n+1} - x_n| \leq |q_n| \cdot |x_n - x_{n-1}| < m |x_n - x_{n-1}|$。
公式：$|x_{n+1} - x_n| < m |x_n - x_{n-1}|$
提示：注意 $m$ 的选取要严格介于 $r$ 和 $1$ 之间，确保放缩后系数小于1。
步骤 2/5
目标：递推得到通项估计
反复应用上述不等式，得到 $|x_{n+1} - x_n| < m^{n-1} |x_2 - x_1|$。
公式：$|x_{n+1} - x_n| < m^{n-1} |x_2 - x_1|$
提示：递推时注意指数从 $n-1$ 开始，因为第一次应用时 $n=1$ 得到 $|x_2-x_1| < m |x_1-x_0|$，但这里 $x_0$ 未定义，实际从 $n=1$ 开始递推，最终得到 $|x_{n+1}-x_n| < m^{n-1}|x_2-x_1|$。
步骤 3/5
目标：利用级数收敛判别数列收敛
由于 $0 < m < 1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} m^{n-1}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} |x_{n+1} - x_n|$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} (x_{n+1} - x_n)$ 绝对收敛，故部分和 $x_{n+1} - x_1$ 收敛，即数列 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} |x_{n+1} - x_n|$ 收敛
提示：注意绝对收敛保证级数收敛，从而部分和极限存在。
步骤 4/5
目标：第二问：递推放缩
由已知 $|x_{n+1} - a| \leq |k| |x_n - a|$，反复应用得 $|x_{n+1} - a| \leq |k|^n |x_1 - a|$。
公式：$|x_{n+1} - a| \leq |k|^n |x_1 - a|$
提示：注意 $0<|k|<1$，所以 $|k|^n \to 0$。
步骤 5/5
目标：利用夹逼定理求极限
由于 $0 \leq |x_{n+1} - a| \leq |k|^n |x_1 - a|$，且 $\lim_{n \to \infty} |k|^n |x_1 - a| = 0$，由夹逼定理得 $\lim_{n \to \infty} |x_n - a| = 0$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
公式：$\lim_{n \to \infty} |x_n - a| = 0$
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等，这里左边为0，右边极限为0，中间趋于0。
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