上册 1.1 数列极限 第36题
📝 题目
36．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $a>0$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$p+q=1$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0$ ，所以 $\ln \left(1+\alpha_{n}\right) \sim \alpha_{n}(n \rightarrow \infty)$ ．
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\beta_{n} \ln \left(1+\alpha_{n}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n} \ln \left(1+\alpha_{n}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow-\infty} \alpha_{n} \beta_{n}}=\mathrm{e}^{\ln a}=a$ ．
若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a$ ，由
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\beta_{n} \ln \left(1+\alpha_{n}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n} \ln \left(1+\alpha_{n}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}}=\mathrm{e}^{\ln a}
$$
得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）由 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b$ 知， $\lim _{n \rightarrow \infty} n \ln a_{n}=\ln a, \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln b_{n}=\ln b$ 。于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[p n \ln a_{n}+q n \ln b_{n}\right]=p \ln a+q \ln b=\ln a^{p}+\ln b^{q}=\ln a^{p} b^{q}
$$
进一步
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow+\infty} \ln \left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow+} n \ln \left(p a_{n}+q b_{n}\right)}=\mathrm{e}^{\ln \left(a^{p} b^{p}\right)}=a^{p} b^{q}
$$
（3）由已知，$\exists M>0, \forall n,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant M$ ．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$ ．
若 $A<+\infty$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)=0$ ．
若 $A=+\infty$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}^{1-\alpha}}=0$ ．由中值定理，$\exists \xi_{n} \in\left(a_{n}, a_{n+1}\right)$ ，使 $a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}=\alpha \xi_{n}^{\alpha-1}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ ．于是
$$
\left|a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right| \leqslant \alpha M\left|\xi_{n}^{\alpha-1}\right| .
$$
让 $n \rightarrow \infty$ 得 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明（1）的充分性：由α_n β_n → ln a 推出 (1+α_n)^{β_n} → a
已知 $\lim_{n\to\infty} \alpha_n \beta_n = \ln a$。由于 $\alpha_n \to 0$，有 $\ln(1+\alpha_n) \sim \alpha_n$，即 $\ln(1+\alpha_n) = \alpha_n + o(\alpha_n)$。因此 $\beta_n \ln(1+\alpha_n) = \beta_n \alpha_n + o(\beta_n \alpha_n)$。由极限 $\lim \alpha_n \beta_n = \ln a$ 知 $\beta_n \alpha_n$ 有界，故 $o(\beta_n \alpha_n) \to 0$。于是 $\lim \beta_n \ln(1+\alpha_n) = \ln a$。从而 $\lim (1+\alpha_n)^{\beta_n} = \lim e^{\beta_n \ln(1+\alpha_n)} = e^{\ln a} = a$。
公式：$\ln(1+\alpha_n) \sim \alpha_n$ 当 $\alpha_n \to 0$
提示：注意等价无穷小替换时需确保 $\beta_n \alpha_n$ 有界，否则不能直接替换。
步骤 2/7
目标：证明（1）的必要性：由 (1+α_n)^{β_n} → a 推出 α_n β_n → ln a
已知 $\lim (1+\alpha_n)^{\beta_n} = a$。两边取自然对数得 $\lim \beta_n \ln(1+\alpha_n) = \ln a$。由于 $\alpha_n \to 0$，$\ln(1+\alpha_n) \sim \alpha_n$，即 $\ln(1+\alpha_n) = \alpha_n + o(\alpha_n)$。代入得 $\beta_n \alpha_n + o(\beta_n \alpha_n) \to \ln a$。因为 $\beta_n \to +\infty$ 且 $\alpha_n \to 0$，$\beta_n \alpha_n$ 的极限存在（设为 $L$），则 $L = \ln a$。
公式：$\lim \beta_n \ln(1+\alpha_n) = \ln a$
提示：注意 $\beta_n \to +\infty$，$\alpha_n \to 0$，乘积的极限可能存在也可能不存在，但由已知条件可推出存在。
步骤 3/7
目标：证明（2）：利用已知极限和指数对数变换
由 $\lim a_n^n = a$ 得 $\lim n \ln a_n = \ln a$；同理 $\lim n \ln b_n = \ln b$。考虑 $\ln(p a_n + q b_n)^n = n \ln(p a_n + q b_n)$。由于 $a_n, b_n$ 为正数，且 $p+q=1$，由加权平均不等式或直接取对数，有 $\lim n \ln(p a_n + q b_n) = \lim n \ln\left( p e^{\ln a_n} + q e^{\ln b_n} \right)$。但更直接地，利用 $\lim n \ln a_n = \ln a$ 和 $\lim n \ln b_n = \ln b$，以及 $p+q=1$，可得 $\lim n \ln(p a_n + q b_n) = p \ln a + q \ln b = \ln(a^p b^q)$。因此 $\lim (p a_n + q b_n)^n = e^{\ln(a^p b^q)} = a^p b^q$。
公式：$\lim n \ln a_n = \ln a$
提示：注意 $a_n$ 和 $b_n$ 是正数数列，取对数有意义。
步骤 4/7
目标：证明（3）：分情况讨论极限存在性并求极限
设 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$（可能为有限或无穷）。由于 $\{a_n\}$ 严格单调增加，$A$ 存在（有限或 $+\infty$）。
提示：注意 $a_n$ 严格单调增加，极限存在（可能为无穷）。
步骤 5/7
目标：情况1：A 有限
若 $A < +\infty$，则 $a_n$ 收敛于有限值。由于 $\alpha \in (0,1)$，函数 $f(x)=x^\alpha$ 在 $[0,\infty)$ 上连续，故 $\lim a_{n+1}^\alpha = A^\alpha$，$\lim a_n^\alpha = A^\alpha$，因此 $\lim (a_{n+1}^\alpha - a_n^\alpha) = 0$。
公式：连续函数的极限性质
提示：注意 $\alpha>0$，$x^\alpha$ 连续。
步骤 6/7
目标：情况2：A = +∞
若 $A = +\infty$，则 $a_n \to +\infty$。由中值定理，存在 $\xi_n \in (a_n, a_{n+1})$ 使得 $a_{n+1}^\alpha - a_n^\alpha = \alpha \xi_n^{\alpha-1}(a_{n+1}-a_n)$。由于 $\alpha-1<0$，$\xi_n^{\alpha-1} \to 0$。又 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 有界，设 $|a_{n+1}-a_n| \le M$，则 $|a_{n+1}^\alpha - a_n^\alpha| \le \alpha M \xi_n^{\alpha-1} \to 0$。因此极限为0。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $\xi_n$ 介于 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 之间，当 $a_n \to +\infty$ 时 $\xi_n \to +\infty$，$\xi_n^{\alpha-1} \to 0$。
步骤 7/7
目标：综合结论
综上，无论 $A$ 有限还是无穷，$\{a_{n+1}^\alpha - a_n^\alpha\}$ 的极限存在且为0。
提示：注意严格单调增加保证中值定理适用。
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