上册 1.1 数列极限 第37题

\section*{解题过程：} （1）由 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \geqslant \sqrt{a_{n} b_{n}}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}} \leqslant \frac{2 a_{n} b_{n}}{2 \sqrt{a_{n} b_{n}}}=\sqrt{a_{n} b_{n}}$ 得 $a_{n+1} \geqslant b_{n+1}$ ．于是 $$ a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \leqslant \frac{a_{n}+a_{n}}{2}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}} \geqslant \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+a_{n}}=b_{n} . $$ 由此得 $a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{n}>a_{n+1}>b_{n+1}>b_{n}>\cdots>b_{2}>b_{1}$ 。故 $\left\{a_{n}\right\}$ 递减有下界 $b_{1},\left\{b_{n}\right\}$ 递增有1：界 $a_{1}$ 。由单调有界原理，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 都收敛。 由 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}$ 知， $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=\lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ ． 由 $\displaystyle a_{n+1} b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \cdot \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}}=a_{n} b_{n}=\cdots=a_{1} b_{1}$ 知， $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=\lim _{n \rightarrow x} b_{n}=\sqrt{a_{1} b_{1}}$ ． （2）（1）$\displaystyle a_{2}=\frac{2 a_{1} b_{1}}{a_{1}+b_{1}}>\frac{2 a_{1} b_{1}}{2 b_{1}}=a_{1}, b_{2}=\sqrt{a_{1} b_{1}}<\sqrt{b_{1} b_{1}}=b_{1}, a_{2}=\frac{2 a_{1} b_{1}}{a_{1}+b_{1}}<\frac{2 a_{1} b_{1}}{2 \sqrt{a_{1} b_{1}}}=\sqrt{a_{1} b_{1}}=b_{2}$ ， 所以 $b_{1}>b_{2}>a_{2}>a_{1}$ ． 设 $n=k$ 时，有 $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{k}>\cdots>a_{k}>\cdots>a_{2}>a_{1}$ ，则当 $n=k+1$ 时， $$ a_{k+1}=\frac{2 a_{k} b_{k}}{a_{k}+b_{k}}>\frac{2 a_{k} b_{k}}{2 b_{k}}=a_{k}, b_{k+1}=\sqrt{a_{k} b_{k}}<\sqrt{b_{k} b_{k}}=b_{k} $$ 由数学归纳法有 $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{n}>\cdots>a_{n}>\cdots>a_{2}>a_{1}$ 。从而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增有界，$\left\{b_{n}\right\}$ 单调减少有界。所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 都收敛。设 $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=a$ ， $\lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，由 $b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}$ 得 $b=\sqrt{a b}$ ，故 $a=b$ ． （2）由数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 收敛可知，级数 $\sum_{n=1}^{x}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)$ 收敛．又 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1=\frac{b_{n}-b_{n+1}}{b_{n+1}} \leqslant \frac{b_{n}-b_{n+1}}{a_{1}}$ ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛。 （3）记 $\displaystyle c_{n+1}=\frac{1}{a_{n}}, d_{n+1}=\frac{1}{b_{n}}$ ，则 $\left\{c_{n}\right\}$ 与 $\left\{d_{n}\right\}$ 符合（2）的条件，于是 $\lim _{n \rightarrow x} c_{n}=\lim _{n \rightarrow x} d_{n}$ 。从而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。