上册 1.1 数列极限 第38题
📝 题目
38．证明下列结论并求极限．
（1）证明：若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，从而 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，不妨设 $A \leqslant a_{n}-b_{n} \leqslant B$ ，其中 $A, B$ 为常数。
由 $\left\{a_{n}\right\}$ 递增，$\left\{b_{n}\right\}$ 递减可知，$a_{n} \leqslant B+b_{n} \leqslant B+b_{1}, b_{n} \geqslant a_{n}-B \geqslant a_{1}-B$ ．从而 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 都是单调有界数列，故它们的极限都存在．又 $\lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow x} a_{n}-\lim _{n \rightarrow x} b_{n}=0$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ ．
（2）由 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，故存在 $M>0$ ，使得 $-M \leqslant a_{n}-b_{n} \leqslant M$ 。从而
$$
a_{n} \leqslant b_{n}+M \leqslant b_{1}+M, a_{1}-M \leqslant a_{n}-M \leqslant b_{n}
$$
这表明 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加有上界，$\left\{b_{n}\right\}$ 单调减少有下界，所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）由 $\left\{a_{2 n}\right\}$ 递增及 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 递减得 $a_{2}-a_{1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明(1)中数列有界性
由 $\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$ 知 $\{a_n-b_n\}$ 有界，存在常数 $A,B$ 使得 $A\leq a_n-b_n\leq B$。
提示：注意极限为0推出有界，但反之不成立。
步骤 2/8
目标：利用单调性得到上下界
由 $\{a_n\}$ 递增，$\{b_n\}$ 递减，得 $a_n\leq B+b_n\leq B+b_1$，$b_n\geq a_n-B\geq a_1-B$。因此 $\{a_n\}$ 有上界，$\{b_n\}$ 有下界。
提示：注意单调有界定理：单调有界数列必有极限。
步骤 3/8
目标：证明极限存在且相等
由单调有界定理，$\lim a_n$ 和 $\lim b_n$ 存在。又 $\lim(a_n-b_n)=\lim a_n-\lim b_n=0$，故 $\lim a_n=\lim b_n$。
公式：$\lim(a_n-b_n)=\lim a_n-\lim b_n$
提示：极限的四则运算需保证各极限存在。
步骤 4/8
目标：证明(2)中数列有界性
由 $\{a_n-b_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $-M\leq a_n-b_n\leq M$。从而 $a_n\leq b_n+M\leq b_1+M$，$b_n\geq a_n-M\geq a_1-M$。
提示：注意 $b_n$ 递减，故 $b_n\leq b_1$；$a_n$ 递增，故 $a_n\geq a_1$。
步骤 5/8
目标：应用单调有界定理
$\{a_n\}$ 单调增加且有上界 $b_1+M$，$\{b_n\}$ 单调减少且有下界 $a_1-M$，故极限都存在。
提示：单调有界定理是判断数列收敛的重要方法。
步骤 6/8
目标：分析(3)中奇偶子列单调性
由 $\{a_{2n}\}$ 递增，$\{a_{2n-1}\}$ 递减，得 $a_{2n}-a_{2n-1}$ 递增（因为 $a_{2n+2}-a_{2n+1}\geq a_{2n}-a_{2n-1}$）。
提示：注意下标转换：$a_{2n+2}-a_{2n+1}\geq a_{2n}-a_{2n-1}$ 由单调性推出。
步骤 7/8
目标：证明差数列收敛于0
由 $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$ 知 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 有界，从而子列 $\{a_{2n}-a_{2n-1}\}$ 有界。又该子列递增，故收敛。其极限必为0，否则与 $\lim(a_{n+1}-a_n)=0$ 矛盾。
提示：递增有界数列必收敛，且极限为子列极限。
步骤 8/8
目标：应用(1)的结论得到收敛
由(1)知，若 $\{a_{2n}\}$ 递增，$\{a_{2n-1}\}$ 递减，且 $\lim(a_{2n}-a_{2n-1})=0$，则 $\lim a_{2n}=\lim a_{2n-1}$。因此 $\{a_n\}$ 收敛（奇偶子列收敛于同一极限）。
提示：数列收敛当且仅当奇偶子列收敛于同一极限。
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