上册 1.1 数列极限 第39题
📝 题目
39．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 十连续，满足 $0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $0 \leqslant f(x)
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）（1）因 $0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，故 $a_{n+1}-a_{n}=f\left(a_{n}\right)-a_{n} \leqslant 0, n=1,2, \cdots$ 。这表明 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减数列。又因 $a_{1} \geqslant 0, f(x) \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，所以 $a_{n} \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ 。从而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减有下界，故 $\left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列。
（2）因 $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t, f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $t \in[0,+\infty)$ ，故
$$
t=\lim _{n \rightarrow x} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow x} f\left(a_{n}\right)=f\left(\lim _{n \rightarrow x} a_{n}\right)=f(t)
$$
（3）由 $a_{n} \geqslant 0$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=t$ 知 $t \geqslant 0$ ．若 $t \neq 0$ ，则 $t>0$ 且 $f(t)
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列单调递减且有下界
由条件 $0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 得 $a_{n+1} = f(a_n) \leqslant a_n$，故数列单调递减。又 $a_1 \geqslant 0$ 且 $f(x) \geqslant 0$，所以 $a_n \geqslant 0$，有下界。因此数列收敛。
提示：注意单调递减的推导：$a_{n+1} - a_n = f(a_n) - a_n \leqslant 0$。
步骤 2/6
目标：证明极限满足不动点方程
设 $\lim_{n \to \infty} a_n = t$，由 $f$ 连续得 $t = \lim a_{n+1} = \lim f(a_n) = f(\lim a_n) = f(t)$。
提示：利用连续函数的性质：极限与函数可交换顺序。
步骤 3/6
目标：证明在严格不等式下极限为零
若 $0 \leqslant f(x) < x$ 对 $x>0$ 成立，则 $t \geqslant 0$。若 $t>0$，则 $f(t) < t$，与 $f(t)=t$ 矛盾，故 $t=0$。
提示：注意反证法的使用，以及 $t=0$ 时不等式不要求严格。
步骤 4/6
目标：应用第一部分结论得到收敛性及极限
由（1）知 $\{x_n\}$ 收敛且极限 $t$ 满足 $f(t)=t$。由 $0 \leqslant f(x) < x$ 得 $t=0$。
提示：直接引用第一问的结论。
步骤 5/6
目标：利用泰勒展开和Stolz公式求极限
由 $f(0)=0$ 及泰勒公式：$f(x)=x+\frac{1}{2}f''(\xi)x^2$。应用Stolz公式：
$$\lim_{n\to\infty} n x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1/x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1/x_{n+1} - 1/x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n x_{n+1}}{x_n - x_{n+1}} = \lim_{x\to 0} \frac{x f(x)}{x - f(x)}.$$
公式：Stolz公式：$\lim \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$
提示：注意Stolz公式的使用条件：分母单调趋于无穷。
步骤 6/6
目标：代入泰勒展开并计算极限
代入 $f(x)=x+\frac{1}{2}f''(\xi)x^2$，得
$$\frac{x f(x)}{x-f(x)} = \frac{x\left(x+\frac{1}{2}f''(\xi)x^2\right)}{-\frac{1}{2}f''(\xi)x^2} = -\frac{2}{f''(\xi)} \cdot \frac{1+\frac{1}{2}f''(\xi)x}{1}.$$
当 $x\to 0$ 时，$\xi\to 0$，由 $f''$ 连续得 $f''(\xi)\to f''(0)$，故极限为 $-\frac{2}{f''(0)}$。
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但由连续性可求极限。
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