上册 1.2 函数极限 第1题
📝 题目
1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
限制 $\displaystyle 0<|x-1|<\frac{1}{2}$ ，则
$$
\left|\frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{x-1}{3(2 x+1)}\right|<\frac{1}{6}|x-1| .
$$
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\min \left\{\frac{1}{2}, 6 \varepsilon\right\}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有
$$
\left|\frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{x-1}{3(2 x+1)}\right|<\frac{1}{6}|x-1|<\varepsilon .
$$
于是 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式，找出分子分母公因式
首先化简函数 $f(x)=\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}$。分子 $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$，分母 $2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1)$。因此，当 $x\neq 1$ 时，有 $f(x)=\frac{x+1}{2x+1}$。
公式：$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$, $2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1)$
提示：注意分母因式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：写出极限差值的表达式
考虑 $\left|f(x)-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{x+1}{2x+1}-\frac{2}{3}\right|$。通分得 $\left|\frac{3(x+1)-2(2x+1)}{3(2x+1)}\right|=\left|\frac{3x+3-4x-2}{3(2x+1)}\right|=\left|\frac{-x+1}{3(2x+1)}\right|=\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|$。
公式：$\left|\frac{x+1}{2x+1}-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|$
提示：通分时注意分子符号，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：限制x的范围以简化分母
为了放大 $\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|$，需要给分母一个下界。限制 $|x-1|<\frac{1}{2}$，则 $x\in(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，从而 $2x+1>2\cdot\frac{1}{2}+1=2$，所以 $\frac{1}{|2x+1|}<\frac{1}{2}$。于是 $\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|<\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}|x-1|=\frac{1}{6}|x-1|$。
公式：$|x-1|<\frac{1}{2}$ 时，$\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|<\frac{1}{6}|x-1|$
提示：限制范围时需确保分母不为零，且下界为正。
步骤 4/5
目标：根据ε-δ定义选取δ
对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\min\left\{\frac{1}{2}, 6\varepsilon\right\}$。则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有 $|x-1|<\frac{1}{2}$ 且 $|x-1|<6\varepsilon$，从而 $\left|\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{x-1}{3(2x+1)}\right|<\frac{1}{6}|x-1|<\frac{1}{6}\cdot 6\varepsilon=\varepsilon$。
公式：$\delta=\min\left\{\frac{1}{2}, 6\varepsilon\right\}$
提示：δ必须取最小值，以保证同时满足限制条件和不等式。
步骤 5/5
目标：总结极限成立
由ε-δ定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有 $\left|\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}-\frac{2}{3}\right|<\varepsilon$，因此 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}=\frac{2}{3}$。
提示：注意定义中要求 $0<|x-1|$，即 $x\neq 1$，但函数在 $x=1$ 处无定义不影响极限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。