上册 1.2 函数极限 第2题
📝 题目
2．证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{|x|}\right)$ 存在，并求值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{2 \mathrm{e}^{-\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}^{-\frac{2}{x}}+1}+1\right)=1, \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{-x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}-1\right)=2-1=1 .
$$
故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{|x|}\right)=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数在x=0处的左右极限
由于函数在$x=0$处涉及$\frac{1}{x}$和$\frac{x}{|x|}$，需要分别考虑$x\to 0^+$和$x\to 0^-$的情况。
提示：注意$\frac{x}{|x|}$在$x>0$时为1，在$x<0$时为-1。
步骤 2/4
目标：计算右极限：$x\to 0^+$
当$x\to 0^+$时，$\frac{x}{|x|}=1$，且$\frac{1}{x}\to +\infty$，$\frac{2}{x}\to +\infty$。原式化为：
$$
\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{2-e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{2}{x}}}+1\right)
$$
分子分母同除以$e^{\frac{2}{x}}$：
$$
\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{2e^{-\frac{2}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{e^{-\frac{2}{x}}+1}+1\right)
$$
当$x\to 0^+$时，$e^{-\frac{2}{x}}\to 0$，$e^{-\frac{1}{x}}\to 0$，因此极限为$\frac{0-0}{0+1}+1=1$。
公式：极限的四则运算法则
提示：注意$e^{\frac{1}{x}}$当$x\to 0^+$时趋于无穷大，需要处理无穷大项。
步骤 3/4
目标：计算左极限：$x\to 0^-$
当$x\to 0^-$时，$\frac{x}{|x|}=-1$，且$\frac{1}{x}\to -\infty$，$\frac{2}{x}\to -\infty$。原式化为：
$$
\lim_{x\to 0^-}\left(\frac{2-e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{2}{x}}}-1\right)
$$
当$x\to 0^-$时，$e^{\frac{1}{x}}\to 0$，$e^{\frac{2}{x}}\to 0$，因此$\frac{2-0}{1+0}-1=2-1=1$。
公式：极限的四则运算法则
提示：注意$e^{\frac{1}{x}}$当$x\to 0^-$时趋于0，直接代入即可。
步骤 4/4
目标：判断极限存在并求值
由于左右极限都存在且相等，均为1，因此原极限存在，且值为1。
公式：极限存在的充要条件：左右极限存在且相等
提示：不要忘记验证左右极限是否相等。
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