上册 1.2 函数极限 第3题
📝 题目
3．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=1$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\frac{2}{\pi}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right) \sin \frac{x}{2^{n}}}{\sin \frac{x}{2^{n}}}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x \frac{\sin 2^{-n} x}{2^{-n} x}}=\frac{\sin x}{x} .
$$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ．
（3）利用 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{4}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ 及 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^{n}}}$ 得 $\displaystyle \frac{2}{\pi}=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{\pi}{2^{2}} \cdot \cos \frac{\pi}{2^{3}} \cdots \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ．于是
$$
\sqrt{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{\pi}{2^{2}} \cdot \cos \frac{\pi}{2^{3}} \cdots \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{2}{\pi} . \text {. } 1.3}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入正弦函数，构造倍角公式
考虑乘积 $P_n = \cos\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2^2} \cdots \cos\frac{x}{2^n}$。乘以 $\sin\frac{x}{2^n}$ 并除以 $\sin\frac{x}{2^n}$，得到 $P_n = \frac{\cos\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2^2} \cdots \cos\frac{x}{2^n} \sin\frac{x}{2^n}}{\sin\frac{x}{2^n}}$。
公式：$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
提示：注意乘以 $\sin\frac{x}{2^n}$ 后，分子可以连续使用倍角公式化简。
步骤 2/6
目标：连续使用倍角公式化简分子
从最右边开始，$\cos\frac{x}{2^n} \sin\frac{x}{2^n} = \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2^{n-1}}$。然后 $\cos\frac{x}{2^{n-1}} \cdot \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^2} \sin\frac{x}{2^{n-2}}$。重复此过程，最终得到 $P_n = \frac{\sin x}{2^n \sin\frac{x}{2^n}}$。
公式：$\cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$
提示：注意每次使用倍角公式后，角度减半，系数乘以1/2。
步骤 3/6
目标：求极限 $n \to \infty$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{x}{2^n} \to 0$，利用极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，有 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{2^n \sin\frac{x}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{x \cdot \frac{\sin(x/2^n)}{x/2^n}} = \frac{\sin x}{x}$。
公式：$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
提示：注意 $2^n \sin\frac{x}{2^n} = x \cdot \frac{\sin(x/2^n)}{x/2^n}$，分母趋于 $x$。
步骤 4/6
目标：证明第（2）问
由（1）知，$\lim_{n \to \infty} \left(\cos\frac{x}{2} \cdots \cos\frac{x}{2^n}\right) = \frac{\sin x}{x}$。再取 $x \to 0$，利用 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得极限为1。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
提示：注意极限次序：先 $n \to \infty$，再 $x \to 0$。
步骤 5/6
目标：建立第（3）问与余弦乘积的联系
注意到 $\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{\frac{1}{2}}$，且由半角公式 $\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$，可得 $\cos\frac{\pi}{2^{n+1}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2^n}}$。因此，无穷乘积 $\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdots$ 等于 $\cos\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{8} \cdots \cos\frac{\pi}{2^{n+1}} \cdots$。
公式：$\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$
提示：注意角度对应：$\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{1/2}$，$\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{(1+\cos\pi/4)/2}$，以此类推。
步骤 6/6
目标：利用第（1）问结果计算第（3）问
令 $x = \frac{\pi}{2}$，则（1）中乘积为 $\cos\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{8} \cdots \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$，其极限为 $\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$。因此原无穷乘积等于 $\frac{2}{\pi}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \cos\frac{x}{2} \cdots \cos\frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{x}$
提示：注意 $x = \pi/2$ 时，$\sin(\pi/2)=1$。
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