上册 1.2 函数极限 第4题
📝 题目
4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)$ ．
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right),|x|<1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于
$$
x_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{2}{3} \frac{4}{3} \cdots \frac{n-1}{n} \frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2 n},
$$
所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2}
$$
（2）由于
$$
1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 k+1)}=1-\frac{1}{(k+1)^{2}}=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=\frac{k}{k+1} \frac{k+2}{k+1}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x_{n} & =\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right) \\
& =\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\frac{n+2}{2(n+1)}
\end{aligned}
$$
故
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{1+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+3+5}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2 n+1)}\right)=\frac{1}{2}
$$
（3）由于 $(1-x)(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right)=\left(1-x^{2^{n+1}}\right)$ ，所以
$$
\lim _{n \rightarrow x}(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}=\frac{1}{1-x} .
$$
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)^{n-1}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots(1-\sqrt[n]{x})}$
$\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{(1-\sqrt{x})} \frac{1-x}{(1-\sqrt[3]{x})} \cdots \frac{1-x}{(1-\sqrt[n]{x})}=\frac{1}{\left.(\sqrt{x})^{\prime}\right|_{x=1}} \frac{1}{\left.(\sqrt[3]{x})^{\prime}\right|_{x=1}} \cdots \frac{1}{\left.(\sqrt[n]{x})^{\prime}\right|_{x=1}}=n!$.
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n-1}-1\right) \cdots\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)\left(x^{2}-1\right) \cdots\left(x^{k}-1\right)}$
$\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{n}-1\right)}{(x-1)} \frac{\left(x^{n-1}-1\right)}{(x-1)} \frac{(x-1)}{\left(x^{2}-1\right)} \frac{\left(x^{n-2}-1\right)}{(x-1)} \frac{(x-1)}{\left(x^{3}-1\right)} \cdots \frac{\left(x^{n-k+1}-1\right)}{(x-1)} \frac{(x-1)}{\left(x^{k}-1\right)}$
$\displaystyle =\left.\left(x^{n}\right)^{\prime}\right|_{x=1} \frac{\left.\left.\left.\left(x^{n-1}\right)^{\prime}\right|_{x=1}\left(x^{n-2}\right)^{\prime}\right|_{x=1} \cdots\left(x^{n-k+1}\right)^{\prime}\right|_{x=1}}{\left.\left.\left.\left.\left(x^{2}\right)^{\prime}\right|_{x=1}\left(x^{3}\right)^{\prime}\right|_{x=1}\left(x^{k-1}\right)^{\prime}\right|_{x=1} \cdots\left(x^{k}\right)^{\prime}\right|_{x=1}}=n \frac{(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{2 \cdot 3 \cdot(k-1) \cdot k}$
$\displaystyle =\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{k!}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\ln (1+x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{x}=\left.(\sqrt[n]{x+1})^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{n}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：分解平方差公式
将每个因子 $1-\frac{1}{k^2}$ 分解为 $(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})$，即 $\frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$。
公式：$1-\frac{1}{k^2} = \left(1-\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k}\right) = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$
提示：注意平方差公式的正确应用，不要遗漏因子。
步骤 2/10
目标：写出乘积并化简
将 $n-1$ 个因子相乘：$x_n = \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$。前一部分 $\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} = \frac{1}{n}$，后一部分 $\prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k} = \frac{n+1}{2}$，因此 $x_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$。
公式：$\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} = \frac{1}{n}$，$\prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k} = \frac{n+1}{2}$
提示：注意乘积的起始和终止下标，避免计算错误。
步骤 3/10
目标：求极限
计算 $\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
提示：极限计算时注意分子分母同除以 $n$。
步骤 4/10
目标：化简第(2)题因子
注意到 $1+3+\cdots+(2k+1) = (k+1)^2$，所以 $1-\frac{1}{1+3+\cdots+(2k+1)} = 1-\frac{1}{(k+1)^2} = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{k+2}{k+1}$。
公式：$1+3+\cdots+(2k+1) = (k+1)^2$
提示：记住奇数平方和公式。
步骤 5/10
目标：转化为第(1)题形式
乘积从 $k=1$ 到 $n$，即 $\prod_{k=1}^n \left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right) = \prod_{m=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{m^2}\right)$，由第(1)题结果得 $\frac{(n+1)+1}{2(n+1)} = \frac{n+2}{2(n+1)}$。
公式：$\prod_{m=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{m^2}\right) = \frac{n+2}{2(n+1)}$
提示：注意下标变换，$m=k+1$。
步骤 6/10
目标：求第(2)题极限
计算 $\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{2(n+1)} = \frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{2(n+1)} = \frac{1}{2}$
提示：与第(1)题结果相同。
步骤 7/10
目标：第(3)题：利用平方差公式
乘以 $(1-x)$ 得 $(1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n}) = 1-x^{2^{n+1}}$，所以原式 $= \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$。当 $|x|<1$ 时，$x^{2^{n+1}}\to 0$，极限为 $\frac{1}{1-x}$。
公式：$(1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n}) = 1-x^{2^{n+1}}$
提示：注意乘以 $(1-x)$ 后要除以 $(1-x)$ 恢复原式。
步骤 8/10
目标：第(4)题：利用导数定义
将极限改写为 $\prod_{k=2}^n \frac{1-x}{1-\sqrt[k]{x}}$，每个因子 $\frac{1-x}{1-\sqrt[k]{x}} \to \frac{1}{(\sqrt[k]{x})'|_{x=1}} = k$，因此极限 $= 2\cdot3\cdots n = n!$。
公式：$\lim_{x\to 1} \frac{1-x}{1-\sqrt[k]{x}} = \frac{1}{(\sqrt[k]{x})'|_{x=1}} = k$
提示：注意 $n-1$ 个因子，从 $k=2$ 到 $n$。
步骤 9/10
目标：第(5)题：分组求导
将分子分母分别写成 $\frac{x^m-1}{x-1}$ 的形式，每个因子极限为 $m$，分母因子极限为 $2,3,\dots,k$，因此极限 $= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$。
公式：$\lim_{x\to 1} \frac{x^m-1}{x-1} = m$
提示：注意分子有 $k$ 个因子，分母也有 $k$ 个因子，但分母从 $x^2-1$ 开始。
步骤 10/10
目标：第(6)题：等价无穷小
当 $x\to 0$ 时，$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n}$，$\ln(1+x) \sim x$，所以极限 $= \frac{1}{n}$。也可用导数定义：$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x} = (\sqrt[n]{1+x})'|_{x=0} = \frac{1}{n}$。
公式：$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n}$，$\ln(1+x) \sim x$
提示：注意等价无穷小替换的条件，$x\to 0$。
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