上册 1.2 函数极限 第6题
📝 题目
6．设 $f(x)$ 在点 $a$ 的一个邻域内有定义，$f(a) \neq 0, f(x)$ 在点 $a$ 处可导，$n$ 为自然数．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}, f(a)>0$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}, f(a)>0$.
（3）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle f\left(a+\frac{1}{n}\right)=f(a)+f^{\prime}(a) \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，所以 $\displaystyle \frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}=1+\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)} \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ ．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1+\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)} \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=\mathrm{e}^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}
$$
（2）由（1）得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}=\mathrm{e}^{-\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}$ ．故
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}} \mathrm{e}^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}=\mathrm{e}^{\frac{2 f^{\prime}(a)}{f(a)}}
$$
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}=\lim _{x \rightarrow a} \mathrm{e}^{\frac{\ln \frac{f(x)}{f(a)}}{x-a}}=\mathrm{e}^{\frac{f^{\prime}(a)}{f(a)}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将f(a+1/n)在a处展开
由于$f(x)$在$x=a$处可导，由导数的定义，$f\left(a+\frac{1}{n}\right)=f(a)+f'(a)\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$，其中$o\left(\frac{1}{n}\right)$是比$\frac{1}{n}$高阶的无穷小。
公式：f(a+\frac{1}{n})=f(a)+f'(a)\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)
提示：注意展开到一阶即可，因为后面要取n次方，高阶项不影响极限。
步骤 2/8
目标：构造1+无穷小的形式
将$\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}$写成$1+\frac{f'(a)}{f(a)}\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$。因为$f(a)>0$，所以分母不为零。
公式：\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}=1+\frac{f'(a)}{f(a)}\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)
提示：注意$o\left(\frac{1}{n}\right)$是比$\frac{1}{n}$高阶的无穷小，因此可以合并到$\frac{1}{n}$的系数中。
步骤 3/8
目标：利用重要极限求(1)的极限
利用极限$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n=e^{\alpha}$，其中$\alpha=\frac{f'(a)}{f(a)}$。因此，$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n=e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n=e^{\alpha}
提示：注意$o\left(\frac{1}{n}\right)$项不影响极限结果，但需要确认其阶数。
步骤 4/8
目标：将(2)转化为(1)的形式
将$\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^n$写成$\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n \cdot \left(\frac{f(a)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^n$。
公式：\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^n = \left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n \cdot \left(\frac{f(a)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^n
提示：注意分母$f\left(a-\frac{1}{n}\right)$不能直接使用(1)的结果，需要先除以$f(a)$。
步骤 5/8
目标：求(2)中第二个因子的极限
由(1)的结果，$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n = e^{-\frac{f'(a)}{f(a)}}$，因此$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f(a)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^n = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^n = e^{-\frac{f'(a)}{f(a)}}
提示：注意负号：将$a-\frac{1}{n}$视为$a+\frac{-1}{n}$，代入(1)的公式。
步骤 6/8
目标：计算(2)的极限
将两个极限相乘：$e^{\frac{f'(a)}{f(a)}} \cdot e^{\frac{f'(a)}{f(a)}} = e^{\frac{2f'(a)}{f(a)}}$。
公式：e^{\frac{f'(a)}{f(a)}} \cdot e^{\frac{f'(a)}{f(a)}} = e^{\frac{2f'(a)}{f(a)}}
提示：注意极限乘法法则成立，因为两个极限都存在。
步骤 7/8
目标：将(3)转化为指数形式
令$t=x-a$，则$x\to a$时$t\to 0$。原式$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}} = \lim_{t\to 0}\left(\frac{f(a+t)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{t}}$。取自然对数，化为$\lim_{t\to 0} e^{\frac{\ln\frac{f(a+t)}{f(a)}}{t}}$。
公式：\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}} = e^{\frac{\ln\frac{f(x)}{f(a)}}{x-a}}
提示：注意$f(a)>0$，所以对数有意义。
步骤 8/8
目标：利用导数定义求(3)的极限
由于$\lim_{t\to 0}\frac{\ln\frac{f(a+t)}{f(a)}}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{\ln f(a+t)-\ln f(a)}{t} = (\ln f(x))'|_{x=a} = \frac{f'(a)}{f(a)}$。因此原极限为$e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$。
公式：\lim_{t\to 0}\frac{\ln f(a+t)-\ln f(a)}{t} = \frac{f'(a)}{f(a)}
提示：注意这里使用了复合函数求导法则，$\ln f(x)$的导数为$\frac{f'(x)}{f(x)}$。
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