上册 1.2 函数极限 第7题
📝 题目
7．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x \sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{\ln (x+1)}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}-1+x \mathrm{e}^{x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}}{2 \mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}$ ．
方法 2： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \ln (1+x)\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ ．
（3）方法 1 ：令 $\mathrm{e}^{t}-1=x$ ，变成（1）。
方法 2： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x \ln (1+x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{\ln x}\right)=-\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1-\ln x}{(x-1) \ln x}=-\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x+\frac{x-1}{x}}$
$$
=-\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x \ln x+x-1}=-\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\ln x+1+1}=-\frac{1}{2} .
$$
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{\cos x-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{-\frac{1}{2} x^{2}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=1$ ．
（6）方法 1 ：令 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ ，化为（2）： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=\lim _{t \rightarrow 0}\left[\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}} \ln (1+t)\right]=\frac{1}{2}$ ．
方法 2：因为 $\displaystyle \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ，所以
于是
$$
\begin{gathered}
x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=x-\frac{1}{2}+O(1) \\
\lim _{x \rightarrow x}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=\lim _{x \rightarrow x}\left(\frac{1}{2}+O(1)\right)=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$
（7）方法 1：由归结原则可化为（6）
方法 2： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n-n^{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)\right]=\frac{1}{2}$ ．
（8）利用（6）：令 $y=-x$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x+x^{2} \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)\right]=-\lim _{y \rightarrow \infty}\left[y-y^{2} \ln \left(1+\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{1}{2}$ ．
（9）利用（2）： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}-1}{2 x}=-\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+x}=-\frac{1}{2} .
$$
（10）利用（6）： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}} \cdot \mathrm{e}^{-x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{x\left[x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-1\right]}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow x} x\left[x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-1\right]}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．
（11）利用（2）： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\mathrm{e}}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \mathrm{e}^{\frac{\ln (1+x)^{\frac{1}{x}}-1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left(2 \sin \frac{1}{n}-\sin \frac{2}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left[2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6} \frac{1}{n^{3}}\right)-\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{6} \frac{8}{n^{3}}\right)+o\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right]=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简极限表达式
将原极限通分：
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$$
提示：注意通分时不要遗漏分母的乘积形式。
步骤 2/4
目标：等价无穷小替换
当 $x\to 0$ 时，$e^x-1\sim x$，因此分母 $x(e^x-1)\sim x^2$，极限化为：
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$
公式：$e^x-1\sim x$
提示：等价无穷小替换仅在乘除因子中使用，此处分母为乘积形式，可以替换。
步骤 3/4
目标：泰勒展开
将 $e^x$ 泰勒展开：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入分子：
$$e^x-1-x = \left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-1-x = \frac{x^2}{2}+o(x^2)$$
公式：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
提示：展开到 $x^2$ 项即可，因为分母是 $x^2$。
步骤 4/4
目标：求极限
代入展开结果：
$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$$
提示：注意 $o(x^2)/x^2 \to 0$。
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