上册 1.2 函数极限 第8题
📝 题目
8．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-\mathrm{e}}{t}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sin x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sqrt{1+\sin x}-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[e\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^{2}}{x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}^{x}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 $\displaystyle 1: \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-\mathrm{e}}{t}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{t} \ln (1+t)}-\mathrm{e}}{t}=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{t} \ln (1+t)-1}-1}{t}=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{t} \ln (1+t)-1}{t}$
$$
=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)-t}{t^{2}}=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+t}-1}{2 t}=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{-t}{2 t(1+t)}=-\frac{\mathrm{e}}{2}
$$
方法 2：令 $\displaystyle y=(1+t)^{\frac{1}{i}}$ ，则 $\displaystyle y^{\prime}=y \frac{t-(1+t) \ln (1+t)}{t^{2}(1+t)}$ ．所以
$$
\begin{aligned}
& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-\mathrm{e}}{t}=\lim _{t \rightarrow 0} y \frac{t-(1+t) \ln (1+t)}{t^{2}(1+t)}=\mathrm{e} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{t-(1+t)\left(t-\frac{1}{2} t^{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}{t^{2}}=-\frac{1}{2} \mathrm{e} . \\
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{x}=-\frac{1}{2} \mathrm{e} . \\
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\sqrt{1+\sin x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{\frac{1}{2} \sin x}=-\mathrm{e} .
\end{aligned}
$$
（2）利用（1）：令 $\displaystyle t=\frac{1}{x}, \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left[\mathrm{e}-(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]=\frac{1}{2} \mathrm{e}$ ．
（3）归结原则化为（2）： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)=-\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}-\mathrm{e}\right]=\frac{\mathrm{e}}{2}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} n\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]\right\}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]=\mathrm{e}^{-1} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{e}=\frac{1}{2}
$$
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^{2}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{2}{x} \ln (1+x)}-\mathrm{e}^{2}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{2} \frac{\mathrm{e}^{\frac{2}{x} \ln (1+x)-2}-1}{x}$
$$
=2 \mathrm{e}^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}{x}=2 \mathrm{e}^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}=-\mathrm{e}^{2} .
$$
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}^{x}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\mathrm{e}^{n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right)}-\mathrm{e}^{x}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\mathrm{e}^{n\left(\frac{x}{n}-\frac{1}{2} \frac{x}{2}^{2}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)}-\mathrm{e}^{x}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\mathrm{e}^{x-\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}-\mathrm{e}^{x}\right)$
$$
=\mathrm{e}^{x} \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}-1\right)=\mathrm{e}^{x} \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(-\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=-\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{x} .
$$
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x \ln (1+x)}-1}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简极限表达式
将 $(1+t)^{1/t}$ 写成指数形式：$(1+t)^{1/t} = e^{\frac{1}{t}\ln(1+t)}$，则原极限化为 $\lim_{t\to 0} \frac{e^{\frac{1}{t}\ln(1+t)} - e}{t}$。
公式：$a^b = e^{b\ln a}$
提示：注意指数函数的连续性，可提取公因子 $e$。
步骤 2/6
目标：提取公因子并等价无穷小替换
提取 $e$：原式 $= e \lim_{t\to 0} \frac{e^{\frac{1}{t}\ln(1+t)-1} - 1}{t}$。由于 $\frac{1}{t}\ln(1+t)-1 \to 0$，利用等价无穷小 $e^u-1 \sim u$，得 $= e \lim_{t\to 0} \frac{\frac{1}{t}\ln(1+t)-1}{t}$。
公式：$e^u-1 \sim u \ (u\to 0)$
提示：确保 $\frac{1}{t}\ln(1+t)-1$ 趋于0，否则不能直接替换。
步骤 3/6
目标：化简为分式极限
将分子通分：$\frac{1}{t}\ln(1+t)-1 = \frac{\ln(1+t)-t}{t}$，代入得 $= e \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)-t}{t^2}$。
提示：注意分母 $t$ 与分子中的 $t$ 合并为 $t^2$。
步骤 4/6
目标：应用洛必达法则或泰勒展开
使用洛必达法则：$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)-t}{t^2} = \lim_{t\to 0} \frac{\frac{1}{1+t}-1}{2t} = \lim_{t\to 0} \frac{-t}{2t(1+t)} = -\frac{1}{2}$。或者用泰勒展开：$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$，代入得 $\frac{-\frac{t^2}{2}+o(t^2)}{t^2} \to -\frac{1}{2}$。
公式：洛必达法则或 $\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$
提示：洛必达法则使用前需验证 $\frac{0}{0}$ 型；泰勒展开注意高阶无穷小。
步骤 5/6
目标：得出结果
因此原极限 $= e \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{e}{2}$。
提示：最终结果不要忘记乘以 $e$。
步骤 6/6
目标：处理其他等价形式
对于 $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{1/x}-e}{\sin x}$，由于 $\sin x \sim x$，极限值相同，为 $-\frac{e}{2}$。对于 $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{1/x}-e}{\sqrt{1+\sin x}-1}$，分母等价于 $\frac{1}{2}\sin x \sim \frac{1}{2}x$，故极限为 $-e$。
公式：$\sin x \sim x$，$\sqrt{1+u}-1 \sim \frac{u}{2}$
提示：注意等价无穷小替换时，分母必须整体替换，不能部分替换。
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