上册 1.2 函数极限 第9题
📝 题目
9．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right)\right)-\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{x^{4}}{8}+o\left(x^{4}\right)\right)}{x^{4}}=-\frac{1}{12}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{x^{2}[x+\ln (1-x)]}{x^{4}}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right)\right)-\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{x^{4}}{8}+o\left(x^{4}\right)\right)}{x^{4}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x+\left(-x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}=\frac{1}{6} .
\end{aligned}
$$
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x^{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}{x^{2}}}$ ．
而
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2} .
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[1+\frac{1}{2}(-x)+\frac{1}{2!} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right]-\left[1-\frac{(\sqrt{x})^{2}}{2!}+\frac{(\sqrt{x})^{4}}{4!}+o\left(x^{2}\right)\right]}{x^{2}}=-\frac{1}{6} .
$$
所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}=-3$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-x^{2}+\frac{x^{4}}{6}-\frac{x^{6}}{90}+o\left(x^{6}\right)\right)-\left(1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{6}+o\left(x^{6}\right)\right)+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$
$$
=-\frac{1}{90}+\frac{1}{6}=\frac{7}{45} .
$$
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} \frac{x^{4}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
而
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}=1 \\
& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[1-x^{2}+\frac{1}{2} x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right]+1-2\left[1+\frac{1}{2}\left(-x^{2}\right)+\frac{1}{2!} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right]}{x^{4}}=\frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}=\frac{3}{4}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$
$\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[2 x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right]-x[x+o(x)]}{x^{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}[1+x+o(x)]-3\left[1-\frac{1}{2}\left(2 x^{2}\right)+o\left(x^{2}\right)\right]+3} =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{x^{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}+3 x^{2}+o\left(x^{2}\right)}=\frac{1}{4}$.
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(1+x+o(x))-\left(x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+o\left(x^{2}\right)+\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}=\frac{3}{2}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left[\frac{1}{n} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}=\frac{3}{2}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}+\frac{1}{2} x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)-x\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)-1}{x^{4}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{4}++\frac{1}{6} x^{4}+o\left(x^{3}\right)}{x^{4}}=\frac{2}{3} .
$$
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}=\frac{1}{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将分子展开为泰勒级数
将 $\cos x$ 和 $\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 分别展开到 $x^4$ 项：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$
$$\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$$
公式：$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \mathrm{e}^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$$
提示：注意展开到相同阶数，且余项为 $o(x^4)$
步骤 2/3
目标：计算分子差
相减得：
$$\cos x - \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)\right) = -\frac{x^4}{12} + o(x^4)$$
提示：注意 $\frac{1}{24} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{12}$
步骤 3/3
目标：求极限
代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{12}$$
提示：分母 $x^4$ 与分子主项 $x^4$ 同阶，极限存在
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