上册 1.2 函数极限 第12题
📝 题目
12．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2 x}=0$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \sin x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{2} \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{3 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x}{6 x}=-\frac{1}{6}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\cos x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\frac{1}{2} x^{2}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{3}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2}}{x^{2} \sin ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2}}{x^{4}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x}{x} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{3} .
$$
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}=2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-x \sin x-\cos x}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x \sin x}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(-\frac{\sin x}{2}\right)=0 .
$$
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{x^{2} \sin x}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left(x^{3}\right)-x\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=\frac{1}{3} .
$$
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{4}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x \cos x}{x} \cdot \frac{\sin x-x \cos x}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\cos x+x \sin x}{3 x^{2}}
$$
$$
=\frac{2}{3} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=\frac{2}{3} .
$$
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x \cos ^{2} x}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x \cos x}{x} \cdot \frac{x-\sin x \cos x}{x^{3}}$
$$
\begin{aligned}
& =2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x \cos x}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}} \\
& =2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{2} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=\frac{4}{3} .
\end{aligned}
$$
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x-\sin x}-1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+x-\sin x}+1}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：通分并化简
将极限表达式通分：
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}.$$
提示：注意通分后分母为 $x\sin x$，不要遗漏。
步骤 2/4
目标：等价无穷小替换分母
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，所以分母 $x\sin x \sim x^2$，极限化为：
$$\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^2}.$$
公式：$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$
提示：等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，这里分母是乘积形式，可以替换。
步骤 3/4
目标：应用洛必达法则
该极限为 $\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则：
$$\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x}.$$
公式：洛必达法则：若 $\lim \frac{f}{g}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f'}{g'}$。
提示：注意检查是否满足洛必达条件，分子分母在 $x=0$ 处可导且分母导数不为零。
步骤 4/4
目标：再次使用洛必达法则或等价无穷小
再次得到 $\frac{0}{0}$ 型，继续使用洛必达法则：
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{2}=0.$$
或者使用等价无穷小 $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，则原式 $=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{2x}=0$。
公式：$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ 当 $x \to 0$
提示：使用等价无穷小更快捷，但要注意替换的准确性。
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