上册 1.2 函数极限 第13题
📝 题目
13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x \sin x-\cos ^{2} x}{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{1+x \sin x}+\cos x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x+\sin ^{2} x}{x^{2}}=1$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-x \sin x-\cos x}{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x \sin x}+\sqrt{\cos x}}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-x \sin x-\cos x}{x^{2}}$
$$
=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}-\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x}{x^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} .
$$
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{1+x \sin x-\cos x}(\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x})=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{1+x \sin x-\cos x}$ ．
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x \sin x-\cos x}{\sin ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x \sin x-\cos x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{3}{2}$ ，
所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}=\frac{4}{3}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{(1+\cos x) \arctan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+\cos x} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x+x^{3} \cos \frac{1}{x^{2}}}{x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2 \sin x}{x}+x^{2} \cos \frac{1}{x^{2}}\right)=1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{(1+\cos x)} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{3 \sin x}{x}+x \cos \frac{1}{x}\right)=\frac{3}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\sin x}-1}{x^{x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{\sin x \ln x}-1}{\mathrm{e}^{x \ln x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x \ln x}{x \ln x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\tan ^{2} x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2} x-\sin ^{2} x}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2} x}{x^{2}} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}(1+\cos x)=1$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \sin x}{\sqrt{1+2 x}-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+\mathrm{e}^{x}}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)+2 \cos x}{\frac{1}{\sqrt{1+2 x}}+\sin x}=\frac{2+2}{1+0}=4$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：有理化分子
将分子有理化：
$$\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{x^2} = \frac{(1+x\sin x)-\cos^2 x}{x^2(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)} = \frac{x\sin x+\sin^2 x}{x^2(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}$$
公式：$a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$
提示：注意分子有理化时，分母要乘以和的形式，不要忘记分母的$x^2$。
步骤 2/3
目标：利用极限运算法则
由于分母中$\sqrt{1+x\sin x}+\cos x \to 2$，故原极限化为：
$$\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+\sin^2 x}{x^2}$$
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意极限非零因子可以先提出来。
步骤 3/3
目标：拆分极限并计算
拆分极限：
$$\frac{1}{2}\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}+\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\right)=\frac{1}{2}(1+1)=1$$
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意$\frac{\sin^2 x}{x^2}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$，极限为1。
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