上册 1.2 函数极限 第14题
📝 题目
14．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{1 \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+(\cos x-1)}-\sqrt[3]{1+(\cos x-1)}}{x^{2}}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[1+\frac{1}{2}(\cos x-1)+o\left(x^{2}\right)\right]-\left[1+\frac{1}{3}(\cos x-1)+o\left(x^{2}\right)\right]}{x^{2}} \\
& =\frac{1}{6} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x^{2}}=-\frac{1}{12}
\end{aligned}
$$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+(\cos a x-1)}-\sqrt[m]{1+(\cos b x-1)}}{x^{2}}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[1+\frac{1}{n}(\cos a x-1)+o\left(x^{2}\right)\right]-\left[1+\frac{1}{m}(\cos b x-1)+o\left(x^{2}\right)\right]}{x^{2}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{n} \frac{(\cos a x-1)}{x^{2}}-\frac{1}{m} \frac{(\cos b x-1)}{x^{2}}\right]=\frac{b^{2}}{2 m}-\frac{a^{2}}{2 n} .
\end{aligned}
$$
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} \sin a x+o(x)\right)-\left(1+\frac{1}{2} \sin b x+o(x)\right)}{x}$
$$
=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x-\sin b x}{x}=\frac{a-b}{2} .
$$
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{\frac{1}{2} x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{3} x}{x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{3} x}+1}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：化简极限表达式
对于第(1)小题，将分子中的根式写为$(\cos x)^{1/2}$和$(\cos x)^{1/3}$，分母$\ln(1+x^2)$在$x\to0$时等价于$x^2$，因此极限化为$\lim_{x\to0}\frac{(\cos x)^{1/2}-(\cos x)^{1/3}}{x^2}$。
公式：$\ln(1+u)\sim u$当$u\to0$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$\ln(1+x^2)\sim x^2$，因为$x^2\to0$。
步骤 2/10
目标：将根式展开为泰勒级数
令$u=\cos x-1$，则$u\to0$。利用$(1+u)^\alpha=1+\alpha u+o(u)$，有$(\cos x)^{1/2}=1+\frac12(\cos x-1)+o(x^2)$，$(\cos x)^{1/3}=1+\frac13(\cos x-1)+o(x^2)$。代入得分子为$\left(\frac12-\frac13\right)(\cos x-1)+o(x^2)=\frac16(\cos x-1)+o(x^2)$。
公式：$(1+u)^\alpha=1+\alpha u+o(u)$
提示：注意$\cos x-1\sim -\frac12x^2$，因此$o(\cos x-1)$可写为$o(x^2)$。
步骤 3/10
目标：计算极限
原极限化为$\lim_{x\to0}\frac{\frac16(\cos x-1)+o(x^2)}{x^2}=\frac16\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}$。利用$\cos x-1\sim -\frac12x^2$，得极限为$\frac16\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac1{12}$。
公式：$\cos x-1\sim -\frac12x^2$
提示：注意符号：$\cos x-1$是负的，所以极限为负。
步骤 4/10
目标：第(2)小题：化简极限表达式
分母$\sin^2x\sim x^2$，分子写为$(\cos ax)^{1/n}-(\cos bx)^{1/m}$，极限化为$\lim_{x\to0}\frac{(\cos ax)^{1/n}-(\cos bx)^{1/m}}{x^2}$。
公式：$\sin x\sim x$
提示：注意$\sin^2x\sim x^2$，而不是$\sin x^2$。
步骤 5/10
目标：泰勒展开分子
令$u=\cos ax-1$，$v=\cos bx-1$，则$(\cos ax)^{1/n}=1+\frac1n(\cos ax-1)+o(x^2)$，$(\cos bx)^{1/m}=1+\frac1m(\cos bx-1)+o(x^2)$。分子为$\frac1n(\cos ax-1)-\frac1m(\cos bx-1)+o(x^2)$。
公式：$(1+u)^\alpha=1+\alpha u+o(u)$
提示：注意$\cos ax-1\sim -\frac12a^2x^2$，$\cos bx-1\sim -\frac12b^2x^2$。
步骤 6/10
目标：计算极限
原极限$=\lim_{x\to0}\left[\frac1n\frac{\cos ax-1}{x^2}-\frac1m\frac{\cos bx-1}{x^2}\right]=\frac1n\cdot\left(-\frac{a^2}{2}\right)-\frac1m\cdot\left(-\frac{b^2}{2}\right)=\frac{b^2}{2m}-\frac{a^2}{2n}$。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{\cos kx-1}{x^2}=-\frac{k^2}{2}$
提示：注意负号的处理，最终结果为正时不要漏掉。
步骤 7/10
目标：第(3)小题：化简极限表达式
分子有理化或泰勒展开。使用泰勒展开：$\sqrt{1+\sin ax}=1+\frac12\sin ax+o(x)$，$\sqrt{1+\sin bx}=1+\frac12\sin bx+o(x)$，分母为$x$。
公式：$\sqrt{1+u}=1+\frac12u+o(u)$
提示：注意$\sin ax\sim ax$，因此$o(\sin ax)=o(x)$。
步骤 8/10
目标：计算极限
原极限$=\lim_{x\to0}\frac{\frac12(\sin ax-\sin bx)+o(x)}{x}=\frac12\lim_{x\to0}\frac{\sin ax-\sin bx}{x}$。利用$\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}=k$，得$\frac12(a-b)=\frac{a-b}{2}$。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}=k$
提示：注意$\sin ax-\sin bx$不能直接等价于$(a-b)x$，但极限运算可拆开。
步骤 9/10
目标：第(4)小题：化简极限表达式
分母：$1-\cos x\sim \frac12x^2$，$e^x-1\sim x$，所以分母$\sim \frac12x^3$。分子：$\sqrt{1+\tan^3x}-1\sim \frac12\tan^3x$，因为$\sqrt{1+u}-1\sim \frac12u$。
公式：$\sqrt{1+u}-1\sim \frac12u$，$1-\cos x\sim \frac12x^2$，$e^x-1\sim x$
提示：注意$\tan^3x\sim x^3$，因为$\tan x\sim x$。
步骤 10/10
目标：计算极限
原极限$=\lim_{x\to0}\frac{\frac12\tan^3x}{\frac12x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\tan^3x}{x^3}=1$。或者写成$2\lim_{x\to0}\frac{\tan^3x}{x^3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tan^3x}+1}=1$。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$
提示：注意$\sqrt{1+\tan^3x}+1\to2$，因此乘以$\frac{1}{2}$后得1。
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