上册 1.2 函数极限 第15题
📝 题目
15．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2 x}=\frac{1}{2}$ ．
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \mathrm{e}^{x^{2}}-x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{2}$.
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin \left(x^{3}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{2}$.
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}$
$\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\tan x-\sin x} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{x^{3}}$
$\displaystyle =2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\tan x+\frac{1}{3}(\tan x)^{3}+o\left(x^{3}\right)\right]-\left[\sin x-\frac{1}{6}(\sin x)^{3}+o\left(x^{3}\right)\right]}{x^{3}}$
$\displaystyle =2 \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=2$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2} \sin 2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \frac{\tan x-\sin x}{2 x^{3}}=\frac{1}{4} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{8}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x) \arcsin x}{\tan x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\tan x-\sin x}=2$ ．
（5）由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ，得
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{\tan x-\sin x}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}+2 \cos x-2}{x^{3}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}(1+x+o(x))+2\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)-2}{x^{3}}=2$.
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{1}{2} \sin x}=6 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{x^{3}}=-3$ ．
（7）由于 $\displaystyle 1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x} \sim \frac{1}{2}(\tan x-\sin x), \sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}} \sim \frac{2}{3} x^{3}(x \rightarrow 0)$ ，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^{3}}-\sqrt[3]{1-x^{3}}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}(\tan x-\sin x)}{\frac{2}{3} x^{3}}=\frac{3}{8}
$$
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x^{2}}-\cos x}{3 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\left(1+x^{2}\right) \cos x}{3 x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\left(1+x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{3 x^{2}}=\frac{1}{2} .
$$
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{\sin ^{3} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^{2}}}{3 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+x^{2}} \frac{x^{2}}{3 x^{2}}=\frac{1}{3}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{\tan x-\arcsin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\frac{1}{1+x^{2}}}{\sec ^{2} x-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right) \cos x-1}{\sqrt{1-x^{2}} \sec ^{2} x-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1+x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)-1}{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)-\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)}=1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简极限表达式
将 $\tan x - \sin x$ 提取公因式：$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}$。因此原极限化为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1-\cos x)}{x^3 \cos x}$。
公式：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
提示：注意提取公因式时不要遗漏分母中的 $\cos x$。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\cos x \to 1$。代入得 $\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2}x^2}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2}$。
公式：$\sin x \sim x$，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
提示：等价无穷小替换时需确保因子不为0，且替换后极限存在。
步骤 3/3
目标：处理其他等价形式
对于 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{x e^{x^2}-x}$，分母 $x e^{x^2}-x = x(e^{x^2}-1) \sim x \cdot x^2 = x^3$（因为 $e^{x^2}-1 \sim x^2$），所以极限仍为 $\frac{1}{2}$。对于 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin(x^3)}$，分母 $\sin(x^3) \sim x^3$，极限也为 $\frac{1}{2}$。
公式：$e^u-1 \sim u$，$\sin u \sim u$
提示：注意 $e^{x^2}-1 \sim x^2$，而不是 $e^x-1 \sim x$。
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