上册 1.2 函数极限 第16题
📝 题目
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）原式 $\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+o\left(x^{3}\right)\right)-x(1+x)}{x^{3}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right)\right)-x-x^{2}}{x^{3}}=\frac{1}{3} .
$$
（2）等价替换化为（1）：原式 $\displaystyle =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{\sin ^{3} x}=\frac{1}{3}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\tan x-x}$
$$
=\frac{1}{3} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\tan x-x}=\frac{1}{3} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)-x}=1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：展开分子中的指数和正弦函数
将 $e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为泰勒级数：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$。
公式：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
提示：注意展开到足够高阶，分子分母都是 $x^3$ 阶，所以分子需展开到 $x^3$ 项。
步骤 2/7
目标：计算分子乘积并化简
计算 $e^x \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2))(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。然后减去 $x(1+x) = x + x^2$，得到分子为 $\frac{x^3}{3} + o(x^3)$。
提示：注意 $o(x^2) \cdot x = o(x^3)$，$o(x^2) \cdot x^3 = o(x^5)$ 可忽略。
步骤 3/7
目标：计算极限（1）
原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^3)}{x^3} = 0$
提示：直接代入 $x=0$ 得到 $\frac{0}{0}$ 型，使用泰勒展开后约去 $x^3$。
步骤 4/7
目标：利用等价无穷小求极限（2）
由于 $\sin x \sim x$（$x \to 0$），所以 $\sin^3 x \sim x^3$。原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{\sin^3 x} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$。
公式：$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$
提示：注意等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，不能用于加减。这里将极限拆成两个极限的乘积是合法的。
步骤 5/7
目标：求极限（3）第一部分
原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan x - x}$。第一个极限已求得为 $\frac{1}{3}$。
提示：拆分为两个极限乘积时，需确保每个极限存在。
步骤 6/7
目标：求极限（3）第二部分
计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan x - x}$。将 $\tan x$ 展开：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，所以 $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，因此极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\frac{x^3}{3} + o(x^3)} = 3$。
公式：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
提示：注意 $\tan x$ 的展开中 $x^3$ 项系数为 $\frac{1}{3}$。
步骤 7/7
目标：计算极限（3）最终结果
原极限 $= \frac{1}{3} \times 3 = 1$。
提示：最终结果需化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。