上册 1.2 函数极限 第17题

\section*{解题过程：} 用中值定理求解。 （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\sin \xi(\sin x-x)}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-(\sin x-x)}{x^{3}}$ $$ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\cos x+1}{3 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{6 x}=\frac{1}{6} \text {, 其中 } \xi \text { 在 } x \text { 与 } \sin x \text { 之间. } $$ （2）方法 1：由于 $\displaystyle \left|2 \cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\right| \leqslant 2$ ，而 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}=0$ ，于是 $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}) & =\lim _{x \rightarrow+\infty} 2 \cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2} \sin \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2} \\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty} 2 \cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2} \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}=0 \end{aligned} $$ 方法 2： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})=\lim _{x \rightarrow+x} \cos \sqrt{\xi} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\xi}}[(x+1)-x]=0$ ，其中 $\xi$ 在 $x$ 与 $x+1$ 之间． 方法 3： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})=\lim _{x \rightarrow+x} \cos \xi(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=\lim _{x \rightarrow+x} \cos \xi\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)=0$ ． 方法 4： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})=\lim _{x \rightarrow x} \frac{\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}}{x+1-x}=\lim _{x \rightarrow x}(\sin \sqrt{x})^{\prime}=\lim _{x \rightarrow x} \cos \sqrt{x}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)=0$ ． （3）不妨设 $x>0$ ，由中值定理： $$ \arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}=\frac{1}{1+\xi^{2}}\left(\frac{a}{x}-\frac{a}{x+1}\right) \text {, 其中 } \frac{a}{x}<\xi<\frac{a}{x+1} \text {. } $$ 而 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+\xi^{2}}=\lim _{\xi \rightarrow 0} \frac{1}{1+\xi^{2}}=1$ ，所以 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)=\lim _{x \rightarrow+x}\left[x^{2} \frac{1}{1+\xi^{2}}\left(\frac{a}{x}-\frac{a}{x+1}\right)\right]=a . $$ 故 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)=a . $$ （4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \sin \xi \frac{\sin x-x}{x^{3}}=0$ ，其中 $\xi$ 在 $x$ 与 $\sin x$ 之间。 （5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos \xi[\ln (x+1)-\ln x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos \xi \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ，其中 $\ln x<\xi<\ln (x+1)$ ． （6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)=\lim _{x \rightarrow+x} x\left(\arctan 1-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ $$ =\lim _{x \rightarrow+\infty} x \frac{1}{1+\xi^{2}}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+\xi^{2}} \frac{x}{x+1}=\frac{1}{2} \text {, 其中 } \xi \text { 在 } \frac{x}{1+x} \text { 与 } 1 \text { 之间. } $$ （7） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \alpha \xi^{\alpha-1}=\lim _{\xi \rightarrow+\infty} \alpha \xi^{\alpha-1}=0$ ，其中 $\xi$ 在 $x$ 与 $x+1$ 之间． （8）当 $0<\alpha<1$ 时， $$ \left|(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}-0\right|=n^{\alpha}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}-1\right]