上册 1.2 函数极限 第18题
📝 题目
18．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} \cdot$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{1-\cos x}}=\mathrm{e}^{2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 x} \frac{x}{\sin x} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{x}} \frac{x-\tan x}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}}$ ．
（2）因
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\sin x}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x^{2}}(x \cos x-\sin x)}{2 x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{3}} \\
& =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}} \\
& =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right) x^{3}+o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=-\frac{1}{6},
\end{aligned}
$$
故
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}} .
$$
（3）因
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\tan x}{x}\right) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\tan x}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\prime}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{x}{\cos ^{2} x}-\tan x\right)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x \cos x}{2 x^{3} \cos ^{2} x} \\
& =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x \cos x}{x^{3}}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}} \\
& =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)}{x^{3}}=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\tan x}{x}\right)}=\mathrm{e}^{\frac{1}{3}}$ ．
（4）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sin ^{2} x} \ln (\cos x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 x} \frac{-\sin x}{\cos x}=-\frac{1}{2}$ ，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0 \rightarrow} \frac{1}{\sin ^{2} x} \ln (\cos x)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}
$$
（5）令 $\displaystyle u=\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}=\lim _{u \rightarrow 0}(\cos u)^{\frac{1}{2 u^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{u \rightarrow 0} \frac{1}{2 u^{2}} \ln (\cos u)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限转化为指数形式
对于形如 $\lim f(x)^{g(x)}$ 的极限，通常取自然对数化为 $\exp\left(\lim g(x)\ln f(x)\right)$ 的形式。本题中，$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} = \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{1-\cos x}\right)$。
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\ln f(x)}$
提示：注意底数必须为正，这里 $\frac{\sin x}{x}>0$ 在 $x$ 接近0时成立。
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小简化分母
当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，因此 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{\frac{1}{2}x^2} = 2\lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x^2}$。
公式：$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
提示：等价无穷小替换时注意分母不能为零，且替换后极限存在。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则求极限
计算 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x^2}$，由于分子分母都趋于0，使用洛必达法则：$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\sin x}{x}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2\sin x}$。
公式：洛必达法则：$\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$
提示：注意求导时 $\ln\frac{\sin x}{x}$ 的导数要正确计算，使用链式法则。
步骤 4/5
目标：进一步化简并利用泰勒展开
利用 $\sin x \sim x$，$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{2x^3}$。然后对分子泰勒展开：$x\cos x = x\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=x-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$，$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，所以分子 $= -\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，因此极限 $= \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{3}x^3}{2x^3} = -\frac{1}{6}$。
公式：泰勒展开：$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
提示：泰勒展开时注意阶数，分子分母最低阶相同才能得到非零极限。
步骤 5/5
目标：得到最终结果
原极限 $= \exp\left(2\times\left(-\frac{1}{6}\right)\right) = e^{-\frac{1}{3}}$。
提示：不要忘记乘以之前的系数2。
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