上册 1.2 函数极限 第19题
📝 题目
19．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}} \cdot$
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=3 \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{x}{3^{x}}\right)^{\frac{1}{x}}=3 \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{x}{3^{x}}\right)^{\frac{3^{x} \frac{1}{x} \frac{1}{3^{x}}}{}}=3 \mathrm{e}$ ．
（2）令 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}=\lim _{t \rightarrow 0}\left(t+2^{t}\right)^{\frac{1}{t}}=\lim _{t \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\ln \left(t+2^{t}\right)^{\frac{1}{t}}}=\mathrm{e}^{\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\ln \left(t+2^{t}\right)}{t}}=\mathrm{e}^{\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t+2^{t}-1}{t}}=\mathrm{e}^{\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1+2^{t} \ln 2}{1}}=2 \mathrm{e}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{x}\right)}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\mathrm{e}^{x}}{x+\mathrm{e}^{1}}}=\mathrm{e}^{2}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln (1+\sin x)}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin x}=\mathrm{e}$ ．
（5）因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-2 \sin x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin x}{x}=-2$ ，故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-2 \sin x)}{x}}=\mathrm{e}^{-2}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{x}}=1$ ．
（7）由于 $\ln (1+2 x) \sim 2 x(x \rightarrow 0)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x} \ln (1+2 x)}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x} 2 x}=\mathrm{e}^{4}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0}(\tan x+1)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}(\tan x+1)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\tan x+1)}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{x}}=\mathrm{e}$ ．
注： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}}=1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0}(2 \sin x+1)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0}^{\frac{\ln (\cos x)}{x}}} \cdot \mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (2 \sin x+1)}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\cos x}} \mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x}{x}}=\mathrm{e}^{2}$ ．
（10）当 $a=0$ 时，$\displaystyle \left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}=0$ ；
当 $a \neq 0$ 时，令 $\displaystyle t=\frac{a}{x}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}=\lim _{t \rightarrow 0}(\cos t+\sin t)^{\frac{a}{t}}=\mathrm{e}^{a}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x+x \sin x)}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x+\sin x+x \cos x}{(\cos x+x \sin x)}}=\mathrm{e}^{0}=1$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\ln x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}=\mathrm{e}$ ．
（13）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{\frac{x^{2}}{2}}=2$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)}{1-\cos x}}=\mathrm{e}^{2}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)}{2 x}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}+2 x+3 \cos x}{\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} 4}=\mathrm{e}^{2}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3^{\frac{1}{x}}\left(1-\frac{x}{3^{x}} \ln 3\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}{2^{\frac{1}{x}}\left(1-\frac{x}{2^{x}} \ln 3\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1-\frac{x}{3^{x}} \ln 3\right)^{-\frac{3^{x}}{x \ln 3} \frac{\ln 3}{x 3^{x}}}}{\left(1-\frac{x}{2^{x}} \ln 3\right)^{-\frac{2^{x}}{x \ln 3} \cdot \ln 3}{ }^{x 2^{x}}}=\frac{e^{0}}{e^{0}}=1$.
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{3}{4 x}\right)^{2 x}}{\left(1-\frac{1}{4 x}\right)^{2 x}} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{-1}=\frac{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{4 x}\right)^{2 x}}{\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{4 x}\right)^{2 x}}=\frac{\mathrm{e}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}}=\mathrm{e}^{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限转化为指数形式
对于形如 $\lim f(x)^{g(x)}$ 的极限，通常利用恒等式 $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$，将问题转化为求指数部分的极限。因此，原极限 $\lim_{x \to 0} (x+3^x)^{1/x} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+3^x)}{x}}$。
公式：$a^b = e^{b \ln a}$
提示：注意底数 $x+3^x$ 在 $x \to 0$ 时趋于 $1$，满足 $1^\infty$ 型未定式，适合用此方法。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小简化对数部分
当 $x \to 0$ 时，$x+3^x \to 1$，且 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$）。令 $u = x+3^x-1$，则 $\ln(x+3^x) = \ln(1+u) \sim u = x+3^x-1$。因此，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+3^x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x+3^x-1}{x}$。
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$
提示：注意 $x+3^x-1$ 的极限为0，确保等价无穷小使用条件成立。
步骤 3/4
目标：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x+3^x-1}{x}$
将分子拆开：$\frac{x+3^x-1}{x} = 1 + \frac{3^x-1}{x}$。由于 $\lim_{x \to 0} \frac{3^x-1}{x} = \ln 3$（利用导数定义或等价无穷小 $3^x-1 \sim x \ln 3$），所以原极限 $= 1 + \ln 3$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a$
提示：注意 $\frac{3^x-1}{x}$ 的极限是 $\ln 3$，不要误记为 $1$。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，原极限 $= e^{1+\ln 3} = e \cdot e^{\ln 3} = 3e$。
公式：$e^{a+\ln b} = b e^a$
提示：注意指数运算：$e^{1+\ln 3} = e^1 \cdot e^{\ln 3} = 3e$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。