上册 1.2 函数极限 第20题
📝 题目
20．求下列极限．
（1）设 $a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1 ： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{a^{x}-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \ln \frac{a^{x}-1}{a-1}} \cdot \mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\ln x}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \ln \frac{a^{x}-1}{a-1}}$ ．
由于 $\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \ln \frac{a^{x}-1}{a-1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{a^{x}-1} a^{x} \ln a=\ln a \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{x}}{a^{x}-1}=\left\{\begin{array}{l}\ln a, a>1, \\ 0,01$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}=a$ ；当 $01, x>0$ ，则 $\displaystyle \ln f(x)=-\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln (a-1)}{x}+\frac{\ln \left(a^{x}-1\right)}{x}$ ，故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln f(x)=\ln a$ ；
若 $00$ ，则 $\displaystyle \ln f(x)=-\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln (1-a)}{x}+\frac{\ln \left(1-a^{x}\right)}{x}$ ，故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln f(x)=0$ ．
所以， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^{x}-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln f(x)}=\left\{\begin{array}{l}a, a>1, \\ 1,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将极限转化为指数形式
原极限为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$。由于底数和指数都依赖于 $x$，我们考虑取自然对数后求极限，即 $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{a^{x}-1}{(a-1)x}\right)$。
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\ln f(x)}$
提示：注意指数形式的极限通常先取对数再求极限。
步骤 2/8
目标：拆分对数项
将对数拆分为：$\ln\left(\frac{a^{x}-1}{(a-1)x}\right) = \ln(a^{x}-1) - \ln(a-1) - \ln x$。因此极限变为 $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\left[\ln(a^{x}-1) - \ln(a-1) - \ln x\right]$。
公式：$\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B$
提示：拆分时注意对数定义域，$a^x-1>0$ 在 $x$ 充分大时成立。
步骤 3/8
目标：分情况讨论 $a>1$ 和 $0
当 $a>1$ 时，$a^x \to +\infty$，$\ln(a^x-1) \sim x\ln a$；当 $0
公式：等价无穷小：$\ln(1+u)\sim u$ 当 $u\to 0$
提示：注意 $a$ 的范围不同导致 $a^x$ 的极限不同，需分类讨论。
步骤 4/8
目标：计算 $a>1$ 时的极限
当 $a>1$ 时，$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\ln(a^x-1) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(a^x(1-a^{-x}))}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x\ln a + \ln(1-a^{-x})}{x} = \ln a$。而 $\frac{\ln(a-1)}{x} \to 0$，$\frac{\ln x}{x} \to 0$。因此极限为 $\ln a$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}=0$
提示：注意 $\ln(a^x-1) = x\ln a + \ln(1-a^{-x})$，其中 $a^{-x}\to 0$。
步骤 5/8
目标：计算 $0
当 $0
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{a^x}{x}=0$（$0
提示：注意 $a^x-1$ 为负，但取对数后虚部不影响极限的实部，最终极限为0。
步骤 6/8
目标：得到原极限结果
由 $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\ln\left(\frac{a^{x}-1}{(a-1)x}\right) = \begin{cases} \ln a, & a>1 \\ 0, & 01$）或 $e^0=1$（$0
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)\ln f(x)}$
提示：注意结果依赖于 $a$ 的范围。
步骤 7/8
目标：第二题：应用洛必达法则
求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$。当 $x\to a$ 时，分子分母均趋于0，为 $\frac{0}{0}$ 型，可使用洛必达法则。对分子分母分别求导：分母导数为1，分子导数为 $a x^{a-1} - a^x \ln a$。
公式：洛必达法则：$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$（若满足条件）
提示：注意 $a^x$ 的导数为 $a^x \ln a$，$x^a$ 的导数为 $a x^{a-1}$。
步骤 8/8
目标：代入 $x=a$ 得到结果
代入 $x=a$：$\lim_{x\to a} \frac{a x^{a-1} - a^x \ln a}{1} = a \cdot a^{a-1} - a^a \ln a = a^a - a^a \ln a = a^a (1-\ln a)$。
公式：$a^a$ 的导数形式
提示：注意 $a$ 是常数，代入时 $x^a$ 变为 $a^a$，$a^x$ 变为 $a^a$。
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