上册 1.2 函数极限 第21题
📝 题目
21．证明下列结论并求极限．
（1）设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle \ln f(x)=\frac{1}{x} \ln \frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}$ ，且
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \ln f(x) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a_{1}^{x} \ln a_{1}+a_{2}^{x} \ln a_{2}+\cdots+a_{n}^{x} \ln a_{n}}{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}} \\
& =\frac{\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}}{n}=\ln \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} .
\end{aligned}
$$
所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}
$$
记 $A=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ ，则
$$
0<\frac{a_{k}}{A} \leqslant 1(k=1,2, \cdots, n), f(x)=A \cdot\left\{\frac{1}{n}\left[\left(\frac{a_{1}}{A}\right)^{x}+\left(\frac{a_{2}}{A}\right)^{x}+\cdots+\left(\frac{a_{n}}{A}\right)^{x}\right]\right\}^{\frac{1}{x}} .
$$
由于 $\displaystyle A\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{x}}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明极限(1)中x→0的情形
设 $f(x)=\left(\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$，取对数得 $\ln f(x)=\frac{1}{x}\ln\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n}$。计算极限 $\lim_{x\to 0}\ln f(x)$，应用洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{a_1^x\ln a_1+\cdots+a_n^x\ln a_n}{a_1^x+\cdots+a_n^x}=\frac{\ln a_1+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$。因此 $\lim_{x\to 0}f(x)=e^{\ln\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$。
公式：洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}$（当满足条件时）
提示：注意洛必达法则的使用条件：分子分母趋于0或无穷，且导数存在。此处分子趋于0，分母趋于0，满足条件。
步骤 2/8
目标：证明极限(1)中x→+∞的情形
记 $A=\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$，则 $f(x)=A\cdot\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{a_k}{A}\right)^x\right]^{\frac{1}{x}}$。由于 $0<\frac{a_k}{A}\le 1$，当 $x\to +\infty$ 时，$\left(\frac{a_k}{A}\right)^x\to 0$（若 $a_k
公式：夹逼定理：若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g(x)=\lim h(x)=L$，则 $\lim f(x)=L$。
提示：注意 $\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{x}}\to 1$ 当 $x\to +\infty$，因此下界趋于 $A$。
步骤 3/8
目标：求极限(2)
由(1)中结论，$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1^x+2^x+\cdots+n^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\max\{1,2,\dots,n\}=n$。
提示：直接应用(1)的结论，注意 $a_i$ 为正数，此处 $a_i=i$。
步骤 4/8
目标：求极限(3)
由(1)中 $x\to 0$ 的结论，$\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[n]{e^1\cdot e^2\cdots e^n}=e^{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}=e^{\frac{n(n+1)}{2n}}=e^{\frac{n+1}{2}}$。
公式：算术-几何平均极限：$\lim_{x\to 0}\left(\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{1/x}=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$
提示：注意指数运算：$e^1\cdot e^2\cdots e^n=e^{1+2+\cdots+n}$。
步骤 5/8
目标：求极限(4)
令 $t=\frac{1}{x}$，则 $x\to\infty$ 时 $t\to 0$。原式 $=\lim_{t\to 0}\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}{n}\right)^{n/t}=\left[\lim_{t\to 0}\left(\frac{a_1^t+\cdots+a_n^t}{n}\right)^{1/t}\right]^n=\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n=a_1a_2\cdots a_n$。
公式：幂指函数极限：$\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sum a_i^t}{n}\right)^{1/t}=\sqrt[n]{\prod a_i}$
提示：注意指数 $n/t$ 的处理：先对括号内取 $1/t$ 次幂，再整体 $n$ 次方。
步骤 6/8
目标：求极限(5)
由(1)中 $x\to 0$ 的结论，$\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x}=\sqrt[3]{abc}$。
提示：直接应用结论，注意 $n=3$。
步骤 7/8
目标：求极限(6)
令 $x=\frac{1}{n}$，则 $n\to\infty$ 时 $x\to 0^+$。原式 $=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x}=\sqrt[3]{abc}$。
公式：变量替换：$n\to\infty$ 转化为 $x\to 0$
提示：注意 $x\to 0^+$ 与 $x\to 0$ 在极限中相同，因为函数在 $x=0$ 附近连续。
步骤 8/8
目标：求极限(7)
类似(6)，令 $x=\frac{1}{n}$，则 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\sqrt{ab}$。
提示：注意 $n=2$ 的情形，结果为几何平均。
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