上册 1.2 函数极限 第22题
📝 题目
22．设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，$f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ ．证明：对任 意 的 $\alpha>0$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ 可推出 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f\left(2^{n} x\right)}{f(x)}=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}{f(x)}=1$ ．
$\forall \alpha>0$ ，存在自然数 $n$ ，使 $\displaystyle \frac{1}{2^{n}}<\alpha<2^{n}$ ，从而 $\displaystyle \frac{x}{2^{n}}<\alpha x<2^{n} x$ ．由 $f(x)$ 递增知
$$
\frac{f\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}{f(x)}<\frac{f(\alpha x)}{f(x)}<\frac{f\left(2^{n} x\right)}{f(x)}
$$
由两边夹定理得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件推导对任意正整数n的结论
由已知条件 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = 1$，通过数学归纳法可得：对任意正整数 $n$，有 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2^n x)}{f(x)} = 1$。类似地，令 $t = x/2$，可得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x/2)}{f(x)} = 1$，进而归纳得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x/2^n)}{f(x)} = 1$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{f(2^n x)}{f(x)} = 1, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x/2^n)}{f(x)} = 1
提示：注意归纳过程中需利用极限的复合性质，且 $f(x)$ 非负保证分母不为零。
步骤 2/5
目标：对任意α>0，选取合适的n
对任意给定的 $\alpha > 0$，由于 $2^n$ 可以任意大，存在自然数 $n$ 使得 $\frac{1}{2^n} < \alpha < 2^n$。例如，取 $n$ 满足 $2^n > \max(\alpha, 1/\alpha)$。
提示：注意 $\alpha$ 可能小于1，需要同时保证上下界。
步骤 3/5
目标：利用单调性建立不等式
由 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，且 $\frac{x}{2^n} < \alpha x < 2^n x$（因为 $\frac{1}{2^n} < \alpha < 2^n$），可得不等式：
$$
\frac{f\left(\frac{x}{2^n}\right)}{f(x)} \leq \frac{f(\alpha x)}{f(x)} \leq \frac{f(2^n x)}{f(x)}.
$$
注意 $f(x) \geq 0$，但 $f(x)$ 可能为零，此时不等式仍成立（若 $f(x)=0$，则左边为0/0未定式，但极限过程可处理）。
公式：\frac{f(x/2^n)}{f(x)} \leq \frac{f(\alpha x)}{f(x)} \leq \frac{f(2^n x)}{f(x)}
提示：当 $f(x)=0$ 时，分式无定义，但极限过程可考虑 $x$ 充分大时 $f(x)>0$（否则极限为0，结论平凡）。
步骤 4/5
目标：应用夹逼定理
对上述不等式取极限 $x \to +\infty$，由第一步知左右两端的极限均为1，即
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x/2^n)}{f(x)} = 1, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2^n x)}{f(x)} = 1.
$$
由夹逼定理得
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)} = 1.
$$
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)} = 1
提示：夹逼定理要求不等式在某个邻域内成立，这里对充分大的 $x$ 成立。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对任意 $\alpha > 0$，有 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)} = 1$，命题得证。
提示：注意结论对任意正数 $\alpha$ 成立，包括 $\alpha<1$ 的情况。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。