上册 1.2 函数极限 第24题

\section*{解题过程：} （1）由条件知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+x} n\left(\sqrt{3+\frac{4}{n}-\frac{2}{n^{2}}}-\alpha-\frac{\beta}{n}\right)=0$ ，从而有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3+\frac{4}{n}-\frac{2}{n^{2}}}-\alpha-\frac{\beta}{n}\right)=0$ ．于是 $$ \begin{aligned} \alpha & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3+\frac{4}{n}-\frac{2}{n^{2}}}-\frac{\beta}{n}\right)=\sqrt{3} . \\ \beta & =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n-2}{\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}+\sqrt{3} n} \\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{4-2 n^{-1}}{\sqrt{3+4 n^{-1}-2 n^{-2}}+\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $$ （2）由条件知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-a-\frac{b}{x}\right)=0$ ，从而有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-a-\frac{b}{x}\right)=0$ ．于是 $$ a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=1, b=\lim _{x \rightarrow+x}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow+x} \frac{-x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+x}=-\frac{1}{2} . $$ （3）令 $y=-x$ ，则 $\lim _{y \rightarrow+x}\left(\sqrt{y^{2}+y+1}+a y-b\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ．从而 $$ \lim _{y \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{1+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^{2}}}+a-\frac{b}{y}\right)=0 . $$ 于是 $$ a=-\lim _{y \rightarrow+\infty} \sqrt{1+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^{2}}}=-1, b=\lim _{y \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{y^{2}+y+1}-y\right)=\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{y+1}{\sqrt{y^{2}+y+1}+y}=\frac{1}{2} . $$ （4）因 $\displaystyle \frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b=x-1+\frac{2}{x+1}-a x-b=\frac{2}{x+2}+(1-a) x-(b+1)$ ，故只有当 $a=1$ 且 $b=-1$ 时，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ．所以 $a=1, b=-1$ ． （5）由 $$ \lim _{x \rightarrow x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\mathrm{e}^{a} \text { 及 } \lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}=\arccos \left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}\right)=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} $$ 知 $\displaystyle a=\ln \frac{\pi}{3}$ ． （6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}}{\sqrt{a+x^{2}}}}{1-b \cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{a+x^{2}}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-b \cos x}$ $$ =\frac{1}{\sqrt{a}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-b \cos x}=1 $$ 由此必有 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-b \cos x)=0$ ．于是 $b=1$ ． 又由 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}=\frac{2}{\sqrt{a}}=1$ 得 $a=4$ ．于是所求 $a=4, b=1$ ． （7）若 $b \neq 0$ ，显然 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=0$ ，这与 $c \neq 0$ 矛盾，所以 $b=0$ ． 利用洛必达法则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a-\cos x}{\frac{\ln \left(1+x^{3}\right)}{x}}$ ．易知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{3}\right)}{x}=0$ ． 若 $a \neq 1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a-\cos x}{\frac{\ln \left(1+x^{3}\right)}{x}}=\infty$ ，这与 $c$ 为实数矛盾，所以 $a=1$ ． $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{\frac{\ln \left(1+x^{3}\right)}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\ln \left(1+x^{3}\right)}{x^{3}}}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2 x}=\frac{1}{2}=c $$ 故 $\displaystyle a=1, b=0, c=\frac{1}{2}$ ．