上册 1.2 函数极限 第25题
📝 题目
25．证明：（1）极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）取 $\varepsilon_{0}=1$ ，对任何 $\delta>0$ ，存在正整数 $\displaystyle n>\frac{1}{\delta}$ ，取 $\displaystyle x^{\prime}=\frac{1}{n \pi}, x^{\prime \prime}=\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-1}$ ，则有 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta\right)$ ，而
$$
\left|\sin \frac{1}{x_{n}^{\prime}}-\sin \frac{1}{x_{n}^{\prime \prime}}\right|=1=\varepsilon_{0}
$$
由柯西收敛准则，极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在．
（2）设 $\displaystyle x_{n}^{\prime}=2 n \pi, x_{n}^{\prime \prime}=2 n \pi+\frac{\pi}{2}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则
$$
x_{n}^{\prime}=2 n \pi \rightarrow+\infty, x_{n}^{\prime \prime}=2 n \pi+\frac{\pi}{2} \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)
$$
故 $\cos x_{n}^{\prime}=1 \rightarrow 1, \cos x_{n}^{\prime \prime}=0 \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ．由归结原则知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos x$ 不存在．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解函数极限不存在的定义
要证明极限 $\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ 不存在，常用方法有：利用柯西收敛准则（即函数极限存在的充要条件）或归结原则（海涅定理）。本题采用柯西收敛准则：若极限存在，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x',x''\in U^\circ(0;\delta)$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。因此，要证明极限不存在，只需找到某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，都存在 $x',x''\in U^\circ(0;\delta)$ 满足 $|f(x')-f(x'')|\ge\varepsilon_0$。
公式：柯西收敛准则：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in U^\circ(x_0;\delta):|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$
提示：注意柯西收敛准则中要求对任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta$，因此要否定存在性，只需找到一个固定的 $\varepsilon_0$ 使得对任意 $\delta$ 都能找到两点函数值差大于等于 $\varepsilon_0$。
步骤 2/7
目标：选取特定的 $\varepsilon_0$ 和构造两点
取 $\varepsilon_0=1$。对任意给定的 $\delta>0$，由于 $\frac{1}{n\pi}\to 0$，存在正整数 $n>\frac{1}{\delta}$，使得 $\frac{1}{n\pi}<\delta$。令 $x'=\frac{1}{n\pi}$，$x''=\frac{1}{n\pi+\frac{\pi}{2}}$。则 $0<|x'|<\delta$，$0<|x''|<\delta$，即 $x',x''\in U^\circ(0;\delta)$。
提示：注意 $x'$ 和 $x''$ 都趋近于0，且 $x'\neq x''$。构造的关键是使 $\frac{1}{x'}$ 和 $\frac{1}{x''}$ 相差 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍，从而正弦值相差1。
步骤 3/7
目标：计算函数值差
计算 $\sin\frac{1}{x'}=\sin(n\pi)=0$，$\sin\frac{1}{x''}=\sin\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^n$，因此 $|\sin\frac{1}{x'}-\sin\frac{1}{x''}|=|0-(-1)^n|=1=\varepsilon_0$。
公式：$\sin(n\pi)=0$，$\sin\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^n$
提示：注意 $n$ 是整数，$\sin(n\pi+\frac{\pi}{2})=\cos(n\pi)=(-1)^n$，不要算错符号。
步骤 4/7
目标：由柯西收敛准则得出极限不存在
由于对任意 $\delta>0$，都存在 $x',x''\in U^\circ(0;\delta)$ 使得 $|f(x')-f(x'')|\ge1$，这与柯西收敛准则矛盾，故极限 $\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在。
提示：注意柯西收敛准则是充要条件，因此只要找到一个反例即可否定极限存在。
步骤 5/7
目标：理解第二问的证明思路
证明 $\lim_{x\to+\infty}\cos x$ 不存在，常用归结原则：若极限存在，则对任何趋于 $+\infty$ 的数列 $\{x_n\}$，对应的函数值数列 $\{\cos x_n\}$ 都趋于同一极限。因此，只需构造两个趋于 $+\infty$ 的数列，使得 $\cos x_n$ 趋于不同的极限，即可证明原极限不存在。
公式：归结原则：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A \iff \forall\{x_n\}\to+\infty, \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$
提示：归结原则要求所有数列对应的函数值都趋于同一极限，因此只要找到两个数列得到不同极限，就说明极限不存在。
步骤 6/7
目标：构造两个数列并计算极限
取 $x_n'=2n\pi$，$x_n''=2n\pi+\frac{\pi}{2}$，$n=1,2,\dots$。则当 $n\to\infty$ 时，$x_n'\to+\infty$，$x_n''\to+\infty$。计算得 $\cos x_n'=\cos(2n\pi)=1\to1$，$\cos x_n''=\cos\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=0\to0$。
公式：$\cos(2n\pi)=1$，$\cos\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=0$
提示：注意 $\cos$ 函数的周期性，选择 $2\pi$ 的整数倍和加上 $\frac{\pi}{2}$ 即可得到不同的极限值。
步骤 7/7
目标：由归结原则得出极限不存在
由于存在两个趋于 $+\infty$ 的数列 $\{x_n'\}$ 和 $\{x_n''\}$，使得 $\cos x_n'\to1$，$\cos x_n''\to0$，而 $1\neq0$，由归结原则知 $\lim_{x\to+\infty}\cos x$ 不存在。
提示：注意归结原则的逆否命题：如果存在两个数列使得函数值趋于不同极限，则原极限不存在。
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