上册 2.1 函数的连续性 第1题
📝 题目
1．试用 $\varepsilon-\delta$ 定义证明下列结论．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0, \infty)$ 内连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对任意的 $\varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\min \left\{\frac{\left|x_{0}\right|}{2}, \frac{\left|x_{0}\right|^{2}}{2} \varepsilon\right\}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right|=\frac{\left|x-x_{0}\right|}{|x|\left|x_{0}\right|}<\frac{2\left|x-x_{0}\right|}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\varepsilon .
$$
所以 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续．
（2）对 $\forall x_{0} \in(0,+\infty)$ ，对任意的 $\varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\min \left\{\frac{\left|x_{0}\right|}{2}, \frac{\left|x_{0}\right|^{2}}{2} \varepsilon\right\}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|\sin \frac{1}{x}-\sin \frac{1}{x_{0}}\right| \leqslant\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right|=\frac{\left|x-x_{0}\right|}{\left|x \| x_{0}\right|}<\frac{2\left|x-x_{0}\right|}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\varepsilon .
$$
所以 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续．由 $x_{0}$ 的任意性，函数 $\displaystyle y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确要证明的结论
对于（1），要证明 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x_0>0$ 处连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。
提示：注意 $x_0>0$ 的条件，确保分母不为零。
步骤 2/8
目标：估计差值并放缩
计算 $|f(x)-f(x_0)| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right| = \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|}$。由于 $x$ 接近 $x_0$，需要控制 $|x|$ 的下界。
公式：|f(x)-f(x_0)| = \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|}
提示：注意绝对值处理，$x_0>0$ 保证 $|x_0|=x_0$。
步骤 3/8
目标：限制 $x$ 的范围以得到 $|x|$ 的下界
取 $\delta_1 = \frac{x_0}{2}$，则当 $|x-x_0|<\delta_1$ 时，有 $x > x_0 - \frac{x_0}{2} = \frac{x_0}{2}$，从而 $|x| > \frac{x_0}{2}$。
公式：x > \frac{x_0}{2}
提示：注意 $x_0>0$，所以 $\frac{x_0}{2}>0$。
步骤 4/8
目标：进一步放缩差值
由 $|x| > \frac{x_0}{2}$ 得 $\frac{1}{|x|} < \frac{2}{x_0}$，因此 $|f(x)-f(x_0)| < \frac{2|x-x_0|}{x_0^2}$。
公式：|f(x)-f(x_0)| < \frac{2|x-x_0|}{x_0^2}
提示：放缩时注意不等号方向。
步骤 5/8
目标：选择 $\delta$ 使得差值小于 $\varepsilon$
要使 $\frac{2|x-x_0|}{x_0^2} < \varepsilon$，只需 $|x-x_0| < \frac{x_0^2}{2}\varepsilon$。取 $\delta = \min\left\{\frac{x_0}{2}, \frac{x_0^2}{2}\varepsilon\right\}$，则当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。
公式：\delta = \min\left\{\frac{x_0}{2}, \frac{x_0^2}{2}\varepsilon\right\}
提示：取最小值保证同时满足两个条件。
步骤 6/8
目标：完成（1）的证明
因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$，故 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x_0>0$ 处连续。
提示：注意 $\delta$ 依赖于 $x_0$ 和 $\varepsilon$。
步骤 7/8
目标：证明（2）中 $\sin\frac{1}{x}$ 的连续性
对于任意 $x_0>0$，利用不等式 $|\sin u - \sin v| \leq |u-v|$，有 $|\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x_0}| \leq \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right|$。
公式：|\sin u - \sin v| \leq |u-v|
提示：该不等式可由和差化积或拉格朗日中值定理得到。
步骤 8/8
目标：利用（1）的结论完成（2）的证明
由（1）知，$\frac{1}{x}$ 在 $x_0>0$ 连续，故对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right|<\varepsilon$，从而 $|\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x_0}|<\varepsilon$。因此 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x_0$ 连续，由 $x_0$ 任意性知在 $(0,\infty)$ 内连续。
提示：注意 $\delta$ 的取法与（1）相同。
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