上册 2.1 函数的连续性 第2题
📝 题目
2．确定常数 $\alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}=\alpha \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+x)^{\alpha-1}=\alpha$ ，所以当 $\alpha=1$ 时，函数 $f(x)$ 连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解连续的定义
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续当且仅当 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。已知 $f(0)=1$，且 $x \leq 0$ 时 $f(x)=1$，故左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x)=1$。因此只需右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x)=1$。
提示：注意连续的定义：函数值等于极限值。
步骤 2/5
目标：计算右极限
当 $x>0$ 时，$f(x)=\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}$。计算 $\lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}$。
提示：注意 $x \to 0^+$ 时，分子分母都趋于0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
步骤 3/5
目标：应用等价无穷小或洛必达法则
方法一：利用等价无穷小。当 $x \to 0$ 时，$(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x$，因此 $\lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\alpha x}{x} = \alpha$。
方法二：洛必达法则。分子分母分别求导：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\alpha(1+x)^{\alpha-1}}{1} = \alpha$。
公式：$(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x$ 当 $x \to 0$
提示：使用等价无穷小时，注意条件 $x \to 0$；使用洛必达法则时，需验证未定式且导数存在。
步骤 4/5
目标：令右极限等于函数值
由连续条件，右极限应等于 $f(0)=1$，即 $\alpha = 1$。
提示：注意 $f(0)=1$ 是已知条件。
步骤 5/5
目标：验证连续性
当 $\alpha=1$ 时，$f(x)=\begin{cases} \frac{(1+x)^1-1}{x}=1, & x>0 \\ 1, & x \leq 0 \end{cases}$，显然 $f(x)=1$ 处处连续。
提示：验证时注意 $x>0$ 时 $f(x)$ 化简为常数1。
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