上册 2.1 函数的连续性 第3题
📝 题目
3．证明下列结论．
（1）证明：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $x=n$（ $n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$f(x)$ 仅在 $x=n$ 处连续 $(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ．事实上，
（1）当 $x_{0}=n(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ 时，由于 $\sin (n \pi-\alpha)=(-1)^{n-1} \sin \alpha$ ，所以 $|\sin (n \pi-\alpha)|=|\sin \alpha|$ 。从而
$$
|f(x)-f(n)| \leqslant|\sin \pi x|=|\sin (n \pi-\pi x)| \leqslant \pi|x-n| \rightarrow 0(x \rightarrow n)
$$
（2）当 $x_{0} \neq n(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ 时，根据有理数与无理数的稠密性知：分别存在有理数列 $\left\{a_{n}\right\}$与无理数列 $\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=x_{0}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=x_{0}$ 。而
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \pi a_{n}=\sin \pi x_{0} \neq 0, \lim _{n \rightarrow x} f\left(b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0
$$
因此 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 不存在．从而 $f(x)$ 在点 $x_{0} \neq n$ 处不连续．
（2）$\displaystyle f\left(x_{k}\right)=\cos \pi\left(k+\frac{1}{2}\right)=0$ 。显然有 $\lim _{x \rightarrow x_{k}} f(x)=0=f\left(x_{k}\right)$ ，即 $f(x)$ 在点 $x_{k}$ 处连续。
对 $x_{0} \neq x_{k}$ ，当 $x$ 沿着无理点趋向于 $x_{0}$ 时，$f(x)$ 的极限为 0 ；当 $x$ 沿着有理点趋向于 $x_{0}$ 时，极限为 $\cos \pi x_{0} \neq 0$ 。所以 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 不存在，从而 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处不连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数定义和连续性条件
函数 $f(x)$ 定义为：当 $x$ 为有理数时，$f(x)=\sin \pi x$；当 $x$ 为无理数时，$f(x)=0$。要证明 $f(x)$ 在 $x=n$（整数）处连续，在其他点间断。连续性要求 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
提示：注意有理数和无理数的稠密性，以及分段函数的极限处理。
步骤 2/6
目标：证明在整数点连续
设 $x_0=n$ 为整数。则 $f(n)=\sin n\pi=0$。对于任意 $x$，有 $|f(x)-f(n)|=|f(x)|\leq |\sin\pi x|$。利用三角恒等式 $\sin\pi x=\sin(\pi n-\pi x)$，且 $|\sin(\pi n-\pi x)|=|\sin(\pi(x-n))|\leq \pi|x-n|$。因此 $|f(x)-f(n)|\leq \pi|x-n|\to 0$ 当 $x\to n$。故 $f$ 在 $x=n$ 连续。
公式：$|\sin\theta|\leq |\theta|$
提示：注意 $\sin(n\pi-\pi x)=(-1)^{n-1}\sin(\pi(x-n))$，绝对值后为 $|\sin(\pi(x-n))|$。
步骤 3/6
目标：证明在非整数点不连续
设 $x_0$ 不是整数。则 $\sin\pi x_0\neq 0$。由有理数和无理数的稠密性，存在有理数列 $\{a_n\}$ 和无理数列 $\{b_n\}$ 都收敛到 $x_0$。则 $\lim f(a_n)=\lim\sin\pi a_n=\sin\pi x_0\neq 0$，而 $\lim f(b_n)=\lim 0=0$。因此极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在，故 $f$ 在 $x_0$ 不连续。
提示：需要构造两个不同极限的数列，注意 $\sin\pi x_0\neq 0$ 是关键。
步骤 4/6
目标：分析第二问函数定义
函数 $f(x)$ 定义为：当 $x$ 为有理数时，$f(x)=\cos\pi x$；当 $x$ 为无理数时，$f(x)=0$。要证明 $f$ 在 $x_k=k+\frac{1}{2}$（整数 $k$）处连续，在其他点间断。
提示：注意 $\cos\pi(k+\frac{1}{2})=0$。
步骤 5/6
目标：证明在 $x_k$ 点连续
设 $x_k=k+\frac{1}{2}$，则 $f(x_k)=\cos\pi(k+\frac{1}{2})=0$。对于任意 $x$，$|f(x)-f(x_k)|=|f(x)|\leq |\cos\pi x|$。利用 $\cos\pi x=\cos[\pi(x_k+\delta)]$，其中 $\delta=x-x_k$，则 $\cos\pi(x_k+\delta)=\cos(\pi k+\frac{\pi}{2}+\pi\delta)=(-1)^k\sin(\pi\delta)$。因此 $|f(x)-f(x_k)|\leq |\sin(\pi\delta)|\leq \pi|\delta|=\pi|x-x_k|\to 0$ 当 $x\to x_k$。故 $f$ 在 $x_k$ 连续。
公式：$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha$
提示：注意 $\cos\pi x$ 在 $x_k$ 处为零，且 $|\cos\pi x|$ 可被 $\pi|x-x_k|$ 控制。
步骤 6/6
目标：证明在其他点不连续
设 $x_0\neq x_k$，则 $\cos\pi x_0\neq 0$。由稠密性，存在有理数列 $\{a_n\}$ 和无理数列 $\{b_n\}$ 收敛到 $x_0$。则 $\lim f(a_n)=\lim\cos\pi a_n=\cos\pi x_0\neq 0$，而 $\lim f(b_n)=0$。因此极限不存在，$f$ 在 $x_0$ 不连续。
提示：与第一问类似，注意 $\cos\pi x_0\neq 0$ 的条件。
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