上册 2.1 函数的连续性 第4题

\section*{解题过程：} （1）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 有两个间断点 $x=0, x=1$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{x}{1-x}}=-1$ ，故 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}=-\infty$ ，故 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点． （2）函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 有三个间断点 $x=0, x=1, x=2$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\ln (1-x)}=-1$ ，故 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{\ln (x-1)}=+\infty$ ，故 $x=2$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{\ln |x-1|}=0$ ，故 $x=1$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点． （3）函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 有三个间断点 $x=0, x=1, x=-1$ ． 由于 $$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2}-x}{x\left(x^{2}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-1}{\left(x^{2}-1\right)}=1, \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{x\left(x^{2}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-1}{\left(x^{2}-1\right)}=1, $$ 故 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的跳跃间断点． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x}{x\left(x^{2}-1\right)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{\left(x^{2}-1\right)}=\frac{1}{2}$ ，故 $x=1$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-x}{-x\left(x^{2}-1\right)}=-\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{x-1}{\left(x^{2}-1\right)}=\infty$ ，故 $x=-1$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点． （4）$\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=1,2, \cdots$ ，为函数 $f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 的间断点．由于 $$ \lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}} x\left[x^{-1}\right]=\lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}}(k-1) x=\frac{k-1}{k}, \lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}} x\left[x^{-1}\right]=\lim _{x \rightarrow x_{k}^{*}} x k=1, $$ 故 $\displaystyle x=\frac{1}{k}$ 为函数 $f(x)$ 的的跳跃间断点． （5）$x=0$ 为函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点．由于 $$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}=1, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}=-1 $$ 故 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的跳跃间断点． 由于 $$ \begin{align*} & f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}=\left\{\begin{array}{l} 1,|x| \leqslant \mathrm{e}, \\ \ln |x|,|x|>\mathrm{e} . \end{array}\right. \tag{6}\\ & \lim _{x \rightarrow \mathrm{e}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \mathrm{e}} \ln |x|=1, \lim _{x \rightarrow-\mathrm{e}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\mathrm{e}} \ln |x|=1, \end{align*} $$ 故函数 $f(x)$ 在 $x= \pm \mathrm{e}$ 连续．故函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续．