上册 2.1 函数的连续性 第5题
📝 题目
5．举例或证明你的结论．
（1）是否存在在 $\mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续，证明：$|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 也连续。问：如果 $f(x)$ 不连续，$|f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的例子，使 $f(x)$ 仅在当 $x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x \text { 为有理数，} \\ 1, x \text { 为无理数，} f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 上处处不连续，但它的绝对值 }|f(x)|=1 \text { 却处处连续．}\end{array}\right.$
（2）证明：若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点也连续．
事实上，由 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在正数 $\delta$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$ 。于是
$$
\| f(x)\left|-\left|f\left(x_{0}\right)\right|\right| \leq\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon
$$
故 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续．
逆命题不成立．例如，$f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x \text { 为有理数，}|f(x)|=1 \text { 为常数，故 }|f(x)| \text { 是连续函数，但 } f(x) \\ 1, x \text { 为无理数．}\end{array}\right.$在 $(-\infty,+\infty)$ 上任一点都不连续．
（3）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \text { 为有理数，} \\ (x-1)(x-2)(x-3), x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 仅在当 $x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造处处不连续但绝对值连续的函数
定义函数 $f(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$。由于有理数和无理数在实数中稠密，对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，存在有理数列和无理数列分别趋于 $x_0$，但 $f$ 在这两个数列上的极限分别为 $-1$ 和 $1$，不相等，故 $f$ 在 $x_0$ 处不连续。而 $|f(x)| = 1$ 恒为常数，显然处处连续。
提示：注意狄利克雷函数的变体，利用有理数和无理数的稠密性证明不连续。
步骤 2/4
目标：证明连续函数绝对值仍连续
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。由绝对值不等式 $\big||f(x)| - |f(x_0)|\big| \leq |f(x) - f(x_0)|$，得 $\big||f(x)| - |f(x_0)|\big| < \varepsilon$，故 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 连续。
公式：$\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$
提示：注意绝对值不等式的方向，这是证明的关键。
步骤 3/4
目标：举反例说明逆命题不成立
考虑 $f(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$，则 $|f(x)| = 1$ 处处连续，但 $f(x)$ 处处不连续，因此 $|f(x)|$ 连续不能推出 $f(x)$ 连续。
提示：逆命题不成立，需要反例说明。
步骤 4/4
目标：构造仅在三点连续其余为第二类间断点的函数
定义 $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in \mathbb{Q} \\ (x-1)(x-2)(x-3), & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$。当 $x = 1,2,3$ 时，$(x-1)(x-2)(x-3)=0$，且对任意有理数列和无理数列趋于这些点，$f$ 的极限均为 $0$，故连续。当 $x_0 \neq 1,2,3$ 时，取有理数列趋于 $x_0$，$f$ 趋于 $0$；取无理数列趋于 $x_0$，$f$ 趋于 $(x_0-1)(x_0-2)(x_0-3) \neq 0$，故极限不存在，且为第二类间断点（因为左右极限至少有一个不存在）。
提示：注意第二类间断点的定义：至少一侧极限不存在。这里极限不存在是因为有理数和无理数路径极限不同。
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