上册 2.1 函数的连续性 第6题
📝 题目
6．举例或证明你的结论．
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $[0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）先证：$\forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ．
设 $x_{0} \in[0,1]$ ，则由 $R(x)$ 的定义，$\forall \varepsilon>0$ ，满足 $R(x) \geqslant \varepsilon$ 的点 $x$ 在 $[0,1]$ 上最多只有有限个．事实上，要 $R(x) \geqslant \varepsilon>0, x$ 必是有理点。若 $\displaystyle x=\frac{p}{q}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，则由 $\displaystyle R\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q} \geqslant \varepsilon$ ，有 $\displaystyle 0 \leqslant p
0$ ，则在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内不含有满足 $R(x) \geqslant \varepsilon$ 的点 $x$ 。于是 $\forall x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ ，有 $|R(x)|<\varepsilon$ 。所以 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ． 再证：Riemann 函数 $R(x)$ 在无理点上连续，在有理点上间断． 设 $x_{0}$ 为有理点，记 $\displaystyle x_{0}=\frac{p}{q}(p, q$ 为既约分数，$q>0)$ ，则 $\displaystyle R\left(x_{0}\right)=\frac{1}{q}>0$ ．此时 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0 \neq R\left(x_{0}\right)$ ．故 $R(x)$ 在有理点上不连续． 设 $x_{0} \in[0,1]$ 为无理点，则 $R\left(x_{0}\right)=0$ 。此时， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0=R\left(x_{0}\right)$ 。所以 $R(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，即 $R(x)$在 $[0,1]$ 内的无理点上连续． （2）设 $f(x)$ 是以 1 为周期的周期函数，且在 $[0,1]$ 上，$f(x)=R(x)$ ．由（1）知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $[0,1]$ 中的有理数点处不连续。又因为 $f(x)$ 以 1 为周期，所以 $f(x)$ 在一切无理点上都连续，在有理点都不连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明极限为0：对任意x0，极限为0
设 $x_0 \in (0,1)$，对任意 $\varepsilon > 0$，考虑满足 $R(x) \geq \varepsilon$ 的点 $x$。由于 $R(x) > 0$ 仅当 $x$ 为有理数，设 $x = \frac{p}{q}$（既约，$q>0$），则 $R(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q} \geq \varepsilon$，故 $q \leq \frac{1}{\varepsilon}$。又 $0 \leq p \leq q$，因此这样的有理点只有有限个，记为 $x_1, x_2, \dots, x_n$。取 $\delta = \min\{|x_i - x_0| : i=1,\dots,n\} > 0$（若 $x_0$ 为有理点，则需排除自身，但极限定义中 $x \neq x_0$，故可取 $\delta$ 小于最小距离）。则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$x$ 不在这些有理点中，故 $|R(x)| < \varepsilon$。因此 $\lim_{x \to x_0} R(x) = 0$。
公式：R(x) = \frac{1}{q} \text{ for } x = \frac{p}{q} \text{ in lowest terms}
提示：注意极限定义中 $x \neq x_0$，因此当 $x_0$ 为有理点时，$\delta$ 应小于 $x_0$ 到其他有理点的距离，且 $x_0$ 本身不在考虑范围内。
步骤 2/5
目标：证明有理点不连续
设 $x_0$ 为有理数，$x_0 = \frac{p}{q}$（既约，$q>0$），则 $R(x_0) = \frac{1}{q} > 0$。由第一步知 $\lim_{x \to x_0} R(x) = 0$，而 $R(x_0) \neq 0$，故极限值不等于函数值，因此 $R(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
提示：注意区分极限值与函数值，不连续是因为极限存在但不等于函数值。
步骤 3/5
目标：证明无理点连续
设 $x_0$ 为无理数，则 $R(x_0) = 0$。由第一步知 $\lim_{x \to x_0} R(x) = 0$，极限值等于函数值，故 $R(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
提示：注意无理点处函数值为0，极限也为0，因此连续。
步骤 4/5
目标：构造周期延拓函数
定义 $f(x)$ 为以1为周期的周期函数，且在 $[0,1]$ 上 $f(x) = R(x)$。即 $f(x) = R(\{x\})$，其中 $\{x\}$ 表示小数部分。由于 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上的无理点连续、有理点不连续，且周期性保持连续性，故 $f(x)$ 在一切无理点连续，在一切有理点不连续。
公式：f(x) = R(\{x\})
提示：注意整数点是有理点，需确保不连续。直接定义 $f(x)$ 为 $R(x)$ 在全体实数上，但 $R(x)$ 在 $x=0$ 处定义为0，导致整数点连续。因此应重新定义：$f(x) = \begin{cases} 1/q, & x=p/q \text{既约}, q>0 \\ 0, & x \text{无理数} \end{cases}$，这样 $f(0)=1$（因为 $0=0/1$），不连续。
步骤 5/5
目标：证明构造的函数满足要求
定义 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q}, & x = \frac{p}{q} \text{（既约，} q>0\text{）} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases}$。对任意无理点 $x_0$，$f(x_0)=0$，且由第一步类似证明可得 $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$，故连续。对任意有理点 $x_0 = \frac{p}{q}$，$f(x_0)=\frac{1}{q}>0$，而 $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$，故不连续。因此 $f(x)$ 在有理点都不连续，在无理点都连续。
提示：注意有理点包括整数，例如 $x=0$ 可写为 $0/1$，故 $f(0)=1$，极限为0，不连续。
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