上册 2.1 函数的连续性 第7题
📝 题目
7．证明下列结论．
（1）若函数 $f(x), g(x)$ 连续，则 $\varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。令 $f(x)$ 的值等于三值 $f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
（3）令 $u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $n$ ，都是 $x$ 的连续函数．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）由函数 $f(x), g(x)$ 连续知，$|f(x)-g(x)|$ 也连续。所以 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}$ 及 $\displaystyle \psi(x)=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}$ 也连续。
（2）$f(x)$ 可表为：
$$
f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)-\max \left\{f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right\}-\min \left\{f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right\}
$$
所以 $f(x)$ 是连续的．
（3）$g_{n}(x)=u_{n}(f(x))=(-n)+f(x)+n-\max \{-n, f(x), n\}-\min \{-n, f(x), n\}$
$$
=f(x)-\max \{f(x), n\}-\min \{-n, f(x)\} .
$$
由（2）知 $g_{n}(x)$ 连续。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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