上册 2.1 函数的连续性 第8题
📝 题目
8．证明下列结论．
（1）（复合函数的连续性）若 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，记 $g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $f(u)$ 在 $u_{0}$ 连续，则复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x_{0}$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $f(x, y)$ 在 $[a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\varphi(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续且值域含于 $(A, B)$ ，则 $F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $(a, A)$ 内连续．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）由于函数 $f(u)$ 在 $u_{0}$ 连续，所以对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\eta>0$ ，当 $\left|u-u_{0}\right|<\eta$ 时，有 $\left|f(u)-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$ 。
由 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，对上述 $\eta>0, \exists \delta>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，有 $\left|g(x)-u_{0}\right|<\eta$ ，从而 $\left|f(g(x))-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$ 。故复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x_{0}$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）由 $f(x, y)$ 在 $[a, A] \times[b, B]$ 上连续知，$f(x, y)$ 在 $[a, A] \times[b, B]$ 上一致连续．于是对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\eta>0$ ，当 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right),\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right) \in[a, A] \times[b, B]$ 且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\eta,\left|y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right|<\eta$ 时，有
$$
\left|f\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon
$$
$\forall x_{0} \in(a, A)$ ，由 $\varphi(x)$ 在 $x_{0}$ 连续，对上述的 $\eta>0$ ，存在 $\delta_{1}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta_{1}$ 时，有
$$
\left|\varphi(x)-\varphi\left(x_{0}\right)\right|<\eta
$$
取 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, \eta\right\}$ ，则当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，有
$$
\left|f(x, \varphi(x))-f\left(x_{0}, \varphi\left(x_{0}\right)\right)\right|<\varepsilon
$$
于是 $F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $x_{0}$ 连续．由 $x_{0}$ 的任意性，$F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $(a, A)$ 内连续．
📋 详细解题步骤
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