上册 2.1 函数的连续性 第9题
📝 题目
9．证明下列的结论．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，对任意有理数 $r \in(a, b)$ 有 $f(x)=0$ ，则对任意 $x \in(a, b)$ 都有 $f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $[a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $[a, b]$ 中的有理点都取值为零．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对 $\forall x_{0} \in[a, b]$ ，当 $x_{0}$ 为有理点时，$f(x)=0$ 。当 $x_{0}$ 为无理点时，由有理数的稠密性，存在有理数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ 。由 $f(x)$ 的连续性得 $f\left(x_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} 0=0$ ，进而函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒为零．
（2）由（1）得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题意与已知条件
题目（1）已知：函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且对任意有理数 $r \in (a,b)$ 有 $f(r)=0$。要证明：对任意 $x \in (a,b)$，$f(x)=0$。
提示：注意区间是开区间 $(a,b)$，但结论对闭区间也成立。
步骤 2/8
目标：分情况讨论有理点与无理点
对任意 $x_0 \in (a,b)$，若 $x_0$ 为有理数，则由已知直接得 $f(x_0)=0$。若 $x_0$ 为无理数，则需要利用连续性证明。
提示：不要遗漏有理点的情况，虽然简单但需明确。
步骤 3/8
目标：利用有理数的稠密性构造有理数列
由于有理数在实数中稠密，存在有理数列 $\{x_n\} \subset (a,b)$ 使得 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$。例如，可取 $x_n = \frac{\lfloor n x_0 \rfloor}{n}$ 的某种有理近似。
提示：确保数列中的每一项都在 $(a,b)$ 内，可通过截取足够大的 $n$ 实现。
步骤 4/8
目标：应用连续性传递极限
由 $f$ 在 $x_0$ 处连续，有 $f(x_0) = \lim_{n \to \infty} f(x_n)$。又因为每个 $x_n$ 是有理数，由已知 $f(x_n)=0$，所以 $f(x_0) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$。
公式：$f(x_0) = \lim_{n \to \infty} f(x_n)$
提示：连续性定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，这里用数列极限形式。
步骤 5/8
目标：总结（1）的结论
因此，对任意 $x \in (a,b)$，都有 $f(x)=0$，即 $f$ 在 $(a,b)$ 上恒为零。
提示：结论可推广到闭区间，只需在端点处同样处理。
步骤 6/8
目标：理解（2）的题意并转化
题目（2）：不存在在 $[a,b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $[a,b]$ 中的有理点都取值为零。等价于：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且对所有有理数 $r \in [a,b]$ 有 $f(r)=0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上恒为零。这正是（1）的结论，只是区间为闭区间。
提示：注意（2）的表述是“不存在...”，即证明任何满足条件的函数必恒为零。
步骤 7/8
目标：应用（1）的结论证明（2）
由（1）的证明过程，对闭区间 $[a,b]$ 同样成立：对任意 $x \in [a,b]$，若 $x$ 为有理数则 $f(x)=0$；若 $x$ 为无理数，取有理数列逼近，由连续性得 $f(x)=0$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上恒为零，故不存在不恒为零的这样的函数。
提示：注意端点 $a,b$ 可能为无理数，但同样可用有理数列逼近（若 $a,b$ 为有理数则直接得零）。
步骤 8/8
目标：总结（2）的结论
因此，不存在在 $[a,b]$ 上不恒为零的连续函数，它在所有有理点取值为零。
提示：该结论体现了连续函数由有理点上的值唯一确定。
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