上册 2.1 函数的连续性 第10题
📝 题目
10．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ ，有 $f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 处连续．证明：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续且 $f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $f(x)$ 为 $(0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，在 $x=0$ 处连续，$\forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $x$ 满足 $f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $f(-x)=f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，所以 $f(x)$ 为偶函数。
当 $x>0$ 时，由 $f\left(x^{2}\right)=f(x)$ 得 $f(x)=f(\sqrt{x})=f(\sqrt[4]{x})=\cdots=f(\sqrt[2^{n}]{x})$ 。由归结原则得
$$
f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt[2^{n}]{x})=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2^{n}]{x}\right)=f(1)
$$
当 $x=0$ 时，$f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(1)$ ．
综上，在 $\mathbf{\mathbf { R }}$ 上 $f(x)=f(1)$ ．
（2）$\forall x \in(0,+\infty)$ ，由 $f\left(x^{2}\right)=f(x)$ 得 $f(x)=f(\sqrt{x})=f(\sqrt[4]{x})=\cdots=f(\sqrt[2 n]{x})$ 。由归结原则得
$$
f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt[2^{n}]{x})=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2^{n}]{x}\right)=f(1)
$$
（3）由已知得 $\displaystyle f(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f\left(x+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)=\cdots=f(x+1)=f(x+2)=f(x+n)$ ．
让 $x=0$ 得 $\displaystyle f(n)=f(0)=f\left(\frac{1}{n}\right)$ ．于是 $\displaystyle f(k n)=f(0)=f\left(\frac{1}{n}\right), f\left(\frac{k}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0)$ ．
对 $(0,1)$ 内任一有理数 $\displaystyle \frac{m}{n}, f\left(\frac{m}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0)$ ．
由函数的连续及有理数的稠密性，$f(x)=f(0), \forall x \in(0,1)$ ．于是 $f(x)=f(0), \forall x \in[0,+\infty)$ ．
（4）$\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，由 $f(2 x)=f(x)$ 得 $f(x)=f\left(2^{-1} x\right)=f\left(2^{-2} x\right)=\cdots=f\left(2^{-n} x\right)=\cdots$ ．
对数列：$x, 2^{-1} x, 2^{-2} x, \cdots, 2^{-n} x, \cdots$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $2^{-n} x \rightarrow 0$ 。
由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续及归结原则有 $f(x)=\lim _{n \rightarrow x} f\left(2^{-n} x\right)=f(0)$ ．
（5）必要性：由 $f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 得
$$
f(x)=f\left(\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}=f\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{4} x} \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}=\cdots=f\left(\frac{1}{2^{n}} x\right) \mathrm{e}^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right) x}=f\left(\frac{1}{2^{n}} x\right) \mathrm{e}^{\frac{x}{1-\frac{1}{2}}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)} .
$$
令 $n \rightarrow \infty$ 得 $f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
充分性：由 $f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ 得 $f(0) \mathrm{e}^{2 x}=f(2 x)$ 。可以写成 $f(0) \mathrm{e}^{x}=f(2 x) \mathrm{e}^{-x}$ 。结合 $f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ，得 $f(x)=f(2 x) \mathrm{e}^{-x}$ 。进一步有 $f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明偶函数性质
由 $f(x)=f(x^2)$ 得 $f(-x)=f((-x)^2)=f(x^2)=f(x)$，故 $f$ 是偶函数，只需考虑 $x\ge 0$。
公式：f(-x)=f(x)
提示：注意定义域为全体实数，利用平方消去符号。
步骤 2/5
目标：迭代递推关系
对任意 $x>0$，反复应用 $f(x)=f(x^2)$ 得 $f(x)=f(\sqrt{x})=f(\sqrt[4]{x})=\cdots=f(\sqrt[2^n]{x})$。
公式：f(x)=f(x^{1/2^n})
提示：注意开方后仍为正数，迭代次数任意。
步骤 3/5
目标：利用连续性取极限
由于 $f$ 在 $x=1$ 处连续，且 $\sqrt[2^n]{x}\to 1$（$n\to\infty$），由归结原则得 $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(\sqrt[2^n]{x})=f(\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^n]{x})=f(1)$。
公式：\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^n]{x}=1
提示：需验证 $f$ 在 $1$ 处连续，且极限过程在连续点处可交换。
步骤 4/5
目标：处理 $x=0$ 的情况
由 $f$ 在 $x=0$ 处连续，且 $x\to 0$ 时 $f(x)=f(1)$（对 $x>0$ 已证），故 $f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=f(1)$。
提示：注意 $0$ 点需单独处理，利用连续性从正数逼近。
步骤 5/5
目标：综合结论
综上，对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $f(x)=f(1)$，即 $f$ 为常数。
提示：偶函数性质保证负数情况。
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