上册 2.1 函数的连续性 第11题
📝 题目
11．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上满足 $f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上满 足 $f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上满足 $f(2 x)=f(x)$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $f(x)$ 在 0 点连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对任意点 $x_{0} \in(0,+\infty)$ ，由方程 $f\left(x^{2}\right)=f(x)$ 可得 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}^{2}\right)=f\left(x_{0}^{2^{2}}\right)=\cdots=f\left(x_{0}^{2^{n}}\right)=\cdots$ ．
若 $x_{0} \in(0,1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow x} x_{0}^{2^{n}}=0$ ．由 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(1)$ 及归结原则得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{0}^{2^{n}}\right)=\lim _{x_{0} \rightarrow 0^{-}} f\left(x_{0}\right)=f(1)$ ．于是 $f\left(x_{0}\right)=f(1)$ ．
若 $x_{0} \in(1,+\infty)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow x} x_{0}^{2^{n}}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{0}^{2^{n}}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。由 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=f(1)$ 及归结原则得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{0}^{2^{n}}\right)=f(1)$ 。于是 $f\left(x_{0}\right)=f(1)$ 。
综上，不论 $x_{0} \in(0,1)$ 还是 $x_{0} \in(1,+\infty)$ 都有 $f\left(x_{0}\right)=f(1)$ ．
由 $x_{0}$ 的任意性得 $f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）若 $x_{0} \in(-1,0)$ ，由 $f\left(x^{3}\right)=f(x)$ 可推出 $f(x)=f(\sqrt[3]{x})=f(\sqrt[3^{2}]{x})=\cdots=f(\sqrt[3^{n}]{x})$ ，于是 $\lim _{n \rightarrow x} x_{0}^{3^{n}}=0$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{0}^{3^{n}}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。因为 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ，由归结原则可得 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{0}^{3^{n}}\right)=f(-1)$ ．于是 $f\left(x_{0}\right)=f(-1)$ ．
若 $x_{0} \in(-\infty,-1)$ ，由方程 $f\left(x^{3}\right)=f(x)$ 可得 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}^{3}\right)=f\left(x_{0}^{3^{2}}\right)=\cdots=f\left(x_{0}^{3^{n}}\right)=\cdots$ ．于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{0}^{3^{n}}=-\infty$ ，且 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{0}^{3^{n}}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。因为 $\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=f(-1)$ ，由归结原则得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{0}^{3^{n}}\right)=f(-1)$ 。于是 $f\left(x_{0}\right)=f(-1)$.
综上所述，不论 $x_{0} \in(-1,0)$ 还是 $x_{0} \in(-\infty,-1)$ ，都有 $f\left(x_{0}\right)=f(-1)$ 。由 $x_{0}$ 的任意性得 $f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 1)$ ．
（3）$\forall x \in(0,+\infty)$ ，因 $f(2 x)=f(x)$ ，故 $f(x)=f(2 x)=f\left(2^{2} x\right)=\cdots=f\left(2^{n} x\right)=\cdots$ ．
对数列：$x, 2 x, 2^{2} x, \cdots, 2^{n} x, \cdots$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时 $2^{n} x \rightarrow+\infty$ 。由归结原则有 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(2^{n} x\right)=A$ 。
（4）在 $f(\alpha x)=\beta f(x)$ 中，令 $x=0$ ，而 $\alpha>1, \beta>1$ ，故 $f(0)=0$ ．反复应用已知等式可得 $f\left(\alpha^{n} x\right)=\beta^{n} f(x)$ ，即 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\beta^{n}} f\left(\alpha^{n} x\right)$ ．
由有界性知：$\exists M>0, \forall x$ ，当 $0<|x|<\delta^{\prime}$ 时，有 $|f(x)| \leqslant M$ 。
取 $\displaystyle \delta<\frac{\delta^{\prime}}{\alpha^{n}}$ ，则当 $0<|x|<\delta$ 时，有 $0<\left|\alpha^{n} x\right|<\delta^{\prime}$ ，故 $\left|f\left(\alpha^{n} x\right)\right| \leqslant M$ 。所以
$$
0 \leqslant|f(x)|=\left|\frac{1}{\beta^{n}} f\left(\alpha^{n} x\right)\right| \leqslant \frac{M}{\beta^{n}}
$$
由迫玫性得 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解函数方程和极限条件
题目（1）给出函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上满足 $f(x^2)=f(x)$，且 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to +\infty} f(x)=f(1)$。目标是证明 $f(x)\equiv f(1)$。
公式：f(x^2)=f(x)
提示：注意定义域为 $(0,+\infty)$，且极限值相等。
步骤 2/8
目标：对任意点 $x_0$ 迭代函数方程
对任意 $x_0\in(0,+\infty)$，反复应用 $f(x^2)=f(x)$ 得：$f(x_0)=f(x_0^2)=f(x_0^{2^2})=\cdots=f(x_0^{2^n})$。
公式：f(x_0)=f(x_0^{2^n})
提示：迭代时注意指数变化。
步骤 3/8
目标：分情况讨论 $x_0$ 的范围
分两种情况：
- 若 $x_0\in(0,1)$，则 $\lim_{n\to\infty} x_0^{2^n}=0^+$。
- 若 $x_0\in(1,+\infty)$，则 $\lim_{n\to\infty} x_0^{2^n}=+\infty$。
提示：注意 $x_0=1$ 时显然成立，无需讨论。
步骤 4/8
目标：应用归结原则和极限条件
由归结原则，$\lim_{n\to\infty} f(x_0^{2^n}) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(1)$（当 $x_0\in(0,1)$），或 $= \lim_{x\to +\infty} f(x) = f(1)$（当 $x_0\in(1,+\infty)$）。因此 $f(x_0)=f(1)$。
公式：\lim_{n\to\infty} f(x_0^{2^n}) = f(1)
提示：归结原则要求数列极限存在且等于函数极限。
步骤 5/8
目标：结论
由于 $x_0$ 任意，故 $f(x)\equiv f(1),\ x\in(0,+\infty)$。
提示：注意 $x=1$ 时也成立。
步骤 6/8
目标：题目（2）的类似证明
类似地，对 $x_0\in(-1,0)$ 迭代 $f(x)=f(\sqrt[3]{x})$ 得 $f(x_0)=f(x_0^{1/3^n})$，极限趋于 $0$；对 $x_0\in(-\infty,-1)$ 迭代 $f(x)=f(x^3)$ 得 $f(x_0)=f(x_0^{3^n})$，极限趋于 $-\infty$。利用极限条件得 $f(x_0)=f(-1)$。
公式：f(x^3)=f(x)
提示：注意 $x_0$ 为负时开奇次方保持符号。
步骤 7/8
目标：题目（3）的证明
对任意 $x>0$，由 $f(2x)=f(x)$ 迭代得 $f(x)=f(2^n x)$。当 $n\to\infty$，$2^n x\to +\infty$，由归结原则 $\lim_{n\to\infty} f(2^n x)=A$，故 $f(x)=A$。
公式：f(2x)=f(x)
提示：注意 $A$ 是常数极限。
步骤 8/8
目标：题目（4）的证明
由 $f(\alpha x)=\beta f(x)$ 且 $\alpha>1,\beta>1$，令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。反复应用得 $f(x)=\frac{1}{\beta^n} f(\alpha^n x)$。由有界性，存在 $M>0$ 和 $\delta'>0$ 使 $|f(x)|\le M$ 当 $|x|<\delta'$。取 $\delta<\delta'/\alpha^n$，则当 $|x|<\delta$ 时 $|\alpha^n x|<\delta'$，故 $|f(x)|\le M/\beta^n$。令 $n\to\infty$ 得 $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$，即 $f$ 在 $0$ 点连续。
公式：f(\alpha x)=\beta f(x)
提示：注意有界性条件保证 $f(\alpha^n x)$ 有界，且 $\beta>1$ 使 $M/\beta^n\to 0$。
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