上册 2.1 函数的连续性 第12题
📝 题目
12．证明下列命题．
（1）若 $f(x)$ 为周期函数且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $f(x) \equiv g(x)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不妨设 $f(x)$ 的周期为 $L>0, \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(L+x)=\cdots=f(n L+x)$ ．记 $a_{n}=x+n L$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ 。由归结原则 $f(x)=\lim _{n \rightarrow x} f\left(a_{n}\right)=A$ 。
（2）设 $f(x), g(x)$ 的周期分别为 $T, S$ ，则 $\forall x \in \mathbf{R}, f(n T+x)=f(x), g(n S+x)=g(x)$ ，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}(f(x+T n)-g(x+T n))=0=\lim _{n \rightarrow \infty}(f(x+S n)-g(x+S n)) .
$$
于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}(f(x+T n)-g(x+T n))=0=\lim _{n \rightarrow \infty}(f(x)-g(x+T n)),
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} g(x+T n), \quad g(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f(x+S n) \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}(f(x+S n)-g(x+S n))=0=\lim _{n \rightarrow \infty}(f(x+S n)-g(x))
\end{aligned}
$$
故
$$
f(x)-g(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(g(x+T n)-f(x+S n))=\lim _{n \rightarrow \infty}(g(x+T n+S n)-f(x+T n+S n))=0 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设周期并取点列
设 $f(x)$ 的周期为 $L>0$，则对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $f(x)=f(x+L)=\cdots=f(x+nL)$。取点列 $a_n = x + nL$，则 $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$。
公式：f(x+nL)=f(x)
提示：注意周期函数的定义：$f(x+T)=f(x)$ 对所有 $x$ 成立。
步骤 2/7
目标：应用归结原则
由归结原则（Heine定理），因为 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$，所以对任意趋于 $+\infty$ 的点列 $\{a_n\}$，有 $\lim_{n\to\infty} f(a_n)=A$。特别地，取 $a_n = x+nL$，则 $f(x) = \lim_{n\to\infty} f(a_n) = A$。由于 $x$ 任意，故 $f(x)\equiv A$。
公式：\lim_{n\to\infty} f(x+nL)=A
提示：归结原则要求点列趋于无穷，这里 $a_n$ 确实趋于 $+\infty$。
步骤 3/7
目标：设周期并取子列
设 $f(x)$ 的周期为 $T$，$g(x)$ 的周期为 $S$。则对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $f(x+nT)=f(x)$，$g(x+nS)=g(x)$。由条件 $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=0$，取子列 $x+nT$ 和 $x+nS$ 可得：
$$\lim_{n\to\infty}(f(x+nT)-g(x+nT))=0,\quad \lim_{n\to\infty}(f(x+nS)-g(x+nS))=0.$$
公式：\lim_{n\to\infty}(f(x+nT)-g(x+nT))=0
提示：注意子列也趋于无穷，因此极限仍为0。
步骤 4/7
目标：利用周期性化简
由 $f(x+nT)=f(x)$，第一个极限化为 $\lim_{n\to\infty}(f(x)-g(x+nT))=0$，即 $f(x)=\lim_{n\to\infty} g(x+nT)$。同理，由第二个极限得 $g(x)=\lim_{n\to\infty} f(x+nS)$。
公式：f(x)=\lim_{n\to\infty} g(x+nT),\quad g(x)=\lim_{n\to\infty} f(x+nS)
提示：注意极限与 $x$ 有关，但 $f(x)$ 是常数（关于 $n$），所以极限存在。
步骤 5/7
目标：构造差值的极限
考虑 $f(x)-g(x)$。由 $f(x)=\lim_{n\to\infty} g(x+nT)$ 和 $g(x)=\lim_{n\to\infty} f(x+nS)$，得
$$f(x)-g(x)=\lim_{n\to\infty} g(x+nT)-\lim_{n\to\infty} f(x+nS)=\lim_{n\to\infty} (g(x+nT)-f(x+nS)).$$
公式：f(x)-g(x)=\lim_{n\to\infty} (g(x+nT)-f(x+nS))
提示：注意极限的减法需要两个极限都存在，这里确实存在。
步骤 6/7
目标：平移变量并利用周期性
令 $y = x+nS$，则 $g(x+nT)=g(y + n(T-S))$？更直接地，考虑 $g(x+nT+nS)-f(x+nT+nS)$。由于 $g$ 周期为 $S$，$g(x+nT+nS)=g(x+nT)$；$f$ 周期为 $T$，$f(x+nT+nS)=f(x+nS)$。因此
$$g(x+nT)-f(x+nS)=g(x+nT+nS)-f(x+nT+nS).$$
公式：g(x+nT)-f(x+nS)=g(x+n(T+S))-f(x+n(T+S))
提示：注意周期性：$g(x+nT+nS)=g(x+nT)$ 因为 $nS$ 是 $S$ 的整数倍，但 $x+nT$ 不一定，实际上 $g$ 周期为 $S$，所以 $g(x+nT+nS)=g(x+nT)$ 成立。类似地 $f(x+nT+nS)=f(x+nS)$。
步骤 7/7
目标：取极限得零
由条件 $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=0$，取子列 $x+n(T+S)$ 得 $\lim_{n\to\infty}(f(x+n(T+S))-g(x+n(T+S)))=0$，即 $\lim_{n\to\infty}(g(x+nT)-f(x+nS))=0$。因此 $f(x)-g(x)=0$，即 $f(x)\equiv g(x)$。
公式：\lim_{n\to\infty}(f(x+n(T+S))-g(x+n(T+S)))=0
提示：注意子列 $x+n(T+S)$ 趋于无穷，所以极限为0。
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