上册 2.1 函数的连续性 第13题
📝 题目
13．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，则 $f(x)$ 为常值函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $S=\{t \mid t$ 为 $f$ 的正周期 $\}$ ，由确界原理知 $S$ 存在下确界．记 $T=\inf S$ ，则 $T \geqslant 0$ ．下证 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，且 $T>0$ ．
由下确界定义可知，$\exists\left\{t_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=T$ ．由 $f(x)$ 的连续性可得：$\forall x \in \mathbf{R}$ ， $f(x+T)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+t_{n}\right)=f(x)$.
若 $T=0$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=0$ ，则 $\forall x \in \mathbf{R}, x$ 可表示为 $x=k_{n} t_{n}+r_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $k_{n}$ 为整数， $0 \leqslant r_{n}0$ ．从而 $T$ 为 $f(x)$ 的最小正周期．
注：没有连续性假设，这个结论不正确，如 Dirichlet 函数．
（2）由（1）的证明得。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义周期集合和下确界
设 $S=\{t \mid t \text{为} f \text{的正周期}\}$，由于 $f$ 是非常值连续周期函数，$S$ 非空且有下界 $0$，由确界原理知 $S$ 存在下确界 $T=\inf S$，则 $T \geq 0$。
提示：注意 $S$ 包含所有正周期，下确界可能为0。
步骤 2/5
目标：证明 $T$ 是周期
由下确界定义，存在周期序列 $\{t_n\} \subset S$ 使得 $\lim_{n\to\infty} t_n = T$。对任意 $x \in \mathbb{R}$，由 $f$ 的连续性得：$f(x+T) = \lim_{n\to\infty} f(x+t_n) = f(x)$，故 $T$ 是 $f$ 的周期。
公式：$f(x+T)=\lim_{n\to\infty} f(x+t_n)=f(x)$
提示：连续性保证了极限与函数可交换。
步骤 3/5
目标：反证 $T>0$
假设 $T=0$，则 $\lim_{n\to\infty} t_n = 0$。对任意 $x \in \mathbb{R}$，将 $x$ 表示为 $x = k_n t_n + r_n$，其中 $k_n$ 为整数，$0 \leq r_n < t_n$，且 $\lim_{n\to\infty} r_n = 0$。由周期性得 $f(x) = f(k_n t_n + r_n) = f(r_n)$。令 $n\to\infty$，由连续性得 $f(x) = f(0)$，即 $f$ 为常值函数，与假设矛盾。故 $T>0$。
公式：$f(x)=f(r_n)$，$\lim_{n\to\infty} r_n = 0$
提示：注意 $r_n$ 的选取依赖于 $t_n$，且 $r_n$ 趋于0。
步骤 4/5
目标：结论：$T$ 是最小正周期
由于 $T$ 是 $f$ 的正周期且为所有正周期的下确界，因此 $T$ 是 $f$ 的最小正周期。
提示：下确界若为正周期则必为最小正周期。
步骤 5/5
目标：证明（2）：利用（1）的结论
设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数，且存在任意小的正周期。若 $f$ 不是常值函数，则由（1）知 $f$ 有最小正周期 $T>0$。但由条件，存在小于 $T$ 的正周期，矛盾。因此 $f$ 必为常值函数。
提示：注意（1）的结论要求非常值连续周期函数有最小正周期，这里用反证法。
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