上册 2.1 函数的连续性 第14题
📝 题目
14．设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数，证明：
（1）对任意 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $f(x)$ 可取到 $f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $[a, b]=[0,1]$ ）
（3）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $[f(a), f(b)]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不妨设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的递增函数．
（1）当 $x0$ ，即 $f\left(x_{0}\right)>f\left(x_{0}-0\right)$ 。从而 $f\left(x_{0}\right)$ 与 $f\left(x_{0}-0\right)$ 之间的任何数都不在 $[f(a), f(b)]$ 之内．再由 $f(x)$ 是单调递增的，矛盾！故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
（3）由 $f(x)$ 的单调性及连续性得 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[f(a), f(b)]$ ．反过来，若 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[f(a), f(b)]$ ，由（2）得 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设单调性并证明左极限存在
不妨设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的递增函数。对于任意 $x_0 \in (a, b)$，考虑 $x < x_0$ 时，$f(x) \leq f(x_0)$。由于 $f(x)$ 在 $[a, x_0]$ 上单调递增且有上界 $f(x_0)$，由单调有界定理，左极限 $f(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 存在，且 $f(x_0^-) \leq f(x_0)$。
公式：单调有界定理
提示：注意单调有界定理要求函数在区间上有界，这里上界为 $f(x_0)$。
步骤 2/6
目标：证明右极限存在
类似地，考虑 $x > x_0$ 时，$f(x) \geq f(x_0)$。由于 $f(x)$ 在 $[x_0, b]$ 上单调递增且有下界 $f(x_0)$，由单调有界定理，右极限 $f(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 存在，且 $f(x_0^+) \geq f(x_0)$。
公式：单调有界定理
提示：注意下界为 $f(x_0)$，单调递增函数在右侧有下界。
步骤 3/6
目标：反证法假设不连续
假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不连续，则存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $f$ 在 $x_0$ 处不连续。由于 $f$ 单调，间断点只能是第一类间断点，即左右极限存在但不相等或与函数值不等。因此 $f(x_0) - f(x_0^-)$ 与 $f(x_0^+) - f(x_0)$ 中至少有一个大于 $0$。否则若两者均不大于 $0$，则 $f(x_0^+) \leq f(x_0) \leq f(x_0^-)$，但由单调性 $f(x_0^-) \leq f(x_0^+)$，推出 $f(x_0^-)=f(x_0)=f(x_0^+)$，矛盾。
提示：注意单调函数只有第一类间断点，且左右极限与函数值的大小关系由单调性决定。
步骤 4/6
目标：导出与介值性矛盾
不妨设 $f(x_0) - f(x_0^-) > 0$，即 $f(x_0) > f(x_0^-)$。取 $c$ 满足 $f(x_0^-) < c < f(x_0)$。由于 $f$ 单调递增，对于 $x < x_0$，$f(x) \leq f(x_0^-) < c$；对于 $x \geq x_0$，$f(x) \geq f(x_0) > c$。因此 $c$ 不在 $f$ 的值域中。但由条件，$f$ 可取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，而 $c$ 介于 $f(a) \leq f(x_0^-)$ 和 $f(b) \geq f(x_0)$ 之间，矛盾。故 $f$ 连续。
提示：注意 $c$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，因为 $f(a) \leq f(x_0^-) < c < f(x_0) \leq f(b)$。
步骤 5/6
目标：证明连续性推出值域为闭区间
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且单调，则值域为闭区间 $[f(a), f(b)]$。这是因为连续函数将闭区间映射为闭区间，且由单调性知最小值为 $f(a)$，最大值为 $f(b)$。
公式：闭区间上连续函数的性质
提示：注意单调性保证了端点就是最值。
步骤 6/6
目标：证明值域为闭区间推出连续性
若 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[f(a), f(b)]$，则 $f$ 可取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值。由（2）的结论，$f$ 在 $[a, b]$ 上连续。
提示：（2）的结论要求 $f$ 可取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，这正是条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。