上册 2.1 函数的连续性 第15题
📝 题目
15．若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有定义，且 $\mathrm{e}^{x} f(x)$ 与 $\mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $(0,1)$ 内都是单调递增的，试证 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
任取 $x_{0} \in(0,1)$ ，因 $\mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $(0,1)$ 内单调递增，当 $x>x_{0}$ 时，有 $\mathrm{e}^{-f(x)} \geqslant \mathrm{e}^{-f\left(x_{0}\right)}$ ，所以 $\mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)} \geqslant \mathrm{e}^{f(x)}$ ，即 $f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ ，故 $f(x)$ 单调递减。从而对任意 $x_{0} \in(0,1), f\left(x_{0}-0\right)$ 与 $f\left(x_{0}+0\right)$ 均存在．
由 $\mathrm{e}^{x} f(x)$ 单调递增，则当 $x>x_{0}$ 时，有 $\mathrm{e}^{x} f(x) \geqslant \mathrm{e}^{x_{0}} f\left(x_{0}\right)$ 。令 $x \rightarrow x_{0}{ }^{+}$，则 $\mathrm{e}^{x_{0}} f\left(x_{0}+0\right) \geqslant \mathrm{e}^{x_{0}} f\left(x_{0}\right)$ ，从而 $f\left(x_{0}+0\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$ 。另一方面，由 $f(x)$ 单调递减，则当 $x>x_{0}$ 时，$f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。令 $x \rightarrow x_{0}{ }^{+}$得 $f\left(x_{0}\right) \geqslant f\left(x_{0}+0\right)$ ．
综上，$f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+0\right)$ 。
类似可证 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}-0\right)$ 。所以 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。由 $x_{0}$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内处处连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由单调性推导f(x)单调递减
任取 $x_0 \in (0,1)$。由于 $\mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $(0,1)$ 内单调递增，当 $x > x_0$ 时，有 $\mathrm{e}^{-f(x)} \geq \mathrm{e}^{-f(x_0)}$。两边取自然对数（注意 $\ln$ 单调递增），得 $-f(x) \geq -f(x_0)$，即 $f(x) \leq f(x_0)$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减。
公式：\mathrm{e}^{-f(x)} \geq \mathrm{e}^{-f(x_0)} \Rightarrow f(x) \leq f(x_0)
提示：注意单调递增的定义：当 $x > x_0$ 时，函数值更大。取对数时要注意不等号方向不变。
步骤 2/7
目标：由单调递减得到左右极限存在
由于 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减，根据单调有界定理，对任意 $x_0 \in (0,1)$，左极限 $f(x_0-0) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和右极限 $f(x_0+0) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 均存在（可能为无穷，但由定义域内有限值，实际为有限数）。
提示：单调函数在区间内每一点都有左右极限，但未必连续。
步骤 3/7
目标：利用e^x f(x)单调递增得到右极限与函数值的关系
由于 $\mathrm{e}^{x} f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递增，当 $x > x_0$ 时，有 $\mathrm{e}^{x} f(x) \geq \mathrm{e}^{x_0} f(x_0)$。令 $x \to x_0^+$，由极限的保号性（或单调有界定理）得 $\mathrm{e}^{x_0} f(x_0+0) \geq \mathrm{e}^{x_0} f(x_0)$。两边除以 $\mathrm{e}^{x_0} > 0$，得 $f(x_0+0) \geq f(x_0)$。
公式：\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{e}^{x} f(x) \geq \mathrm{e}^{x_0} f(x_0) \Rightarrow f(x_0+0) \geq f(x_0)
提示：注意极限运算与不等式的结合：若 $g(x) \geq a$ 且 $\lim g(x) = L$，则 $L \geq a$。
步骤 4/7
目标：由f(x)单调递减得到右极限与函数值的反向不等式
由于 $f(x)$ 单调递减，当 $x > x_0$ 时，有 $f(x) \leq f(x_0)$。令 $x \to x_0^+$，由极限的保号性得 $f(x_0+0) \leq f(x_0)$。
公式：\lim_{x \to x_0^+} f(x) \leq f(x_0) \Rightarrow f(x_0+0) \leq f(x_0)
提示：单调递减意味着当自变量增大时函数值减小，所以右极限不大于函数值。
步骤 5/7
目标：综合得到右连续
由 $f(x_0+0) \geq f(x_0)$ 和 $f(x_0+0) \leq f(x_0)$，可得 $f(x_0+0) = f(x_0)$。因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。
提示：注意两个不等式方向相反，只能推出相等。
步骤 6/7
目标：类似证明左连续
类似地，考虑 $x < x_0$ 的情形。由 $\mathrm{e}^{-f(x)}$ 单调递增，当 $x < x_0$ 时，$\mathrm{e}^{-f(x)} \leq \mathrm{e}^{-f(x_0)}$，得 $f(x) \geq f(x_0)$，即 $f$ 单调递减。由 $\mathrm{e}^{x} f(x)$ 单调递增，当 $x < x_0$ 时，$\mathrm{e}^{x} f(x) \leq \mathrm{e}^{x_0} f(x_0)$，令 $x \to x_0^-$ 得 $f(x_0-0) \leq f(x_0)$。再由 $f$ 单调递减，当 $x < x_0$ 时 $f(x) \geq f(x_0)$，令 $x \to x_0^-$ 得 $f(x_0-0) \geq f(x_0)$。因此 $f(x_0-0) = f(x_0)$，左连续成立。
提示：注意不等号方向与右连续情形相反，但推导过程对称。
步骤 7/7
目标：结论：f(x)在(0,1)内连续
由于 $x_0$ 是 $(0,1)$ 内任意一点，且 $f$ 在 $x_0$ 处左右连续，故 $f$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内处处连续。
提示：连续性要求左右极限存在且等于函数值，这里已证明。
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