上册 2.1 函数的连续性 第16题
📝 题目
16．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，若对开区间 $(a, b)$ 内的任一点均非 $f(x)$ 的极值点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $f(x)$ 在 $I$ 上必为严格单调．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不严格单调，则将出现以下情况之一：
（1）$\exists x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b], x^{\prime}f\left(x^{\prime \prime}\right)>f\left(x^{\prime \prime}\right)$ ．
当情况（1）出现时，函数 $f(x)$ 在 $\left[x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right]$ 内存在最值，最值点为 $f(x)$ 的极值点，这与条件矛盾；
当情况（2）出现时，在 $\left[x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right]$ 内存在最大值，最值点为 $f(x)$ 的极值点，这与条件矛盾；
当情况（3）出现时，在 $\left[x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right]$ 内存在最小值，最值点为 $f(x)$ 的极值点，这与条件矛盾。
综上，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调。
（2）假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不严格单调，则将出现以下情况之一：
（1）$\exists x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b], x^{\prime}f\left(x^{\prime \prime \prime}\right)>f\left(x^{\prime \prime}\right)$ ．
当情况（1）出现时，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不存在反函数，这与条件矛盾；
当情况（2）出现时，由介值定理知，存在 $c \in\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$ ，使得 $f(c)=f\left(x^{\prime \prime}\right)$ 。这与反函数存在矛盾．
因此，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调．
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：理解题意与反证法假设
要证明（1）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$(a,b)$内每一点都不是极值点，则$f(x)$在$[a,b]$上严格单调。采用反证法：假设$f(x)$在$[a,b]$上不严格单调。
提示：注意严格单调的定义：对任意$x_1f(x_2)$。不严格单调意味着存在某两点使得函数值相等或出现增减交替。
步骤 2/10
目标：分类讨论不严格单调的情况
不严格单调有三种可能情形：
(1) 存在$x'f(x''')>f(x'')$。
提示：注意情形(2)和(3)中，中间点的函数值介于两端点之间，但顺序与单调性相反。
步骤 3/10
目标：情形(1)导出矛盾
若存在$x'
公式：最值定理：闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
提示：注意极值点定义：若某点邻域内函数值均不大于（或不小于）该点值，则该点为极大（小）值点。最值点若在内部，必为极值点。
步骤 4/10
目标：情形(2)导出矛盾
若存在$x'
提示：注意：最大值点可能在端点，但这里$f(x')f(x'')$？实际上$f(x''')
步骤 5/10
目标：情形(3)导出矛盾
类似地，若存在$x'f(x''')>f(x'')$，则考虑区间$[x',x'']$。由于$f(x')>f(x'')$，最小值必在内部某点$c\in(x',x'')$达到，$c$为极小值点，矛盾。
提示：与情形(2)对称，注意符号方向。
步骤 6/10
目标：结论（1）得证
所有可能的不严格单调情形均导致矛盾，故假设不成立，因此$f(x)$在$[a,b]$上严格单调。
步骤 7/10
目标：证明（2）：利用一一映射和连续性
要证明：若$f(x)$在区间$I$上连续且一一映射，则$f$在$I$上严格单调。采用反证法：假设$f$不严格单调，则存在$x_1f(x_3)>f(x_2)$，或者存在$x_1
提示：注意区间$I$可以是任意区间（开、闭、半开半闭），但连续性保证介值定理成立。
步骤 8/10
目标：情形（2）中利用介值定理导出矛盾
若存在$x_1f(x_3)>f(x_2)$，同样可得矛盾。
公式：介值定理：若$f$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\neq f(b)$，则对介于$f(a)$和$f(b)$之间的任何数$y$，存在$c\in(a,b)$使得$f(c)=y$。
提示：注意：$f(x_3)$介于$f(x_1)$和$f(x_2)$之间，所以存在$c$使得$f(c)=f(x_3)$，且$c$在$x_1$和$x_2$之间，但$x_3$在$x_2$和$x_3$之间，所以$c\neq x_3$。
步骤 9/10
目标：情形（1）直接矛盾
若存在$x_1
提示：一一映射即单射：若$x_1\neq x_2$则$f(x_1)\neq f(x_2)$。
步骤 10/10
目标：结论（2）得证
所有不严格单调的情形均导致与一一映射矛盾，故$f$在$I$上严格单调。
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