上册 2.1 函数的连续性 第17题
📝 题目
17．讨论是否存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数使得 $f(f(x))=\mathrm{e}^{-x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
用反证法证明：若存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 使得 $f(f(x))=\mathrm{e}^{-x}$ ，则 $f(x)$ 为单射．
事实上，由 $f(y)=f(x)$ ，有 $\mathrm{e}^{-x}=f(f(x))=f(f(y))=\mathrm{e}^{-y}$ ，从而 $x=y$ 。
同时在假设条件下，$f(x)$ 一定为单调函数。否则，存在 $a
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设存在并证明f是单射
假设存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 使得 $f(f(x)) = \mathrm{e}^{-x}$。若 $f(y) = f(x)$，则 $\mathrm{e}^{-x} = f(f(x)) = f(f(y)) = \mathrm{e}^{-y}$，从而 $x = y$。因此 $f$ 是单射。
公式：f(f(x)) = \mathrm{e}^{-x}
提示：注意单射的定义：若 $f(x)=f(y)$ 则 $x=y$。
步骤 2/5
目标：证明f是单调函数
用反证法证明 $f$ 单调。假设 $f$ 不单调，则存在 $a
提示：介值定理要求函数连续，但这里未假设连续。实际上，单调函数必有介值性？需注意：单调函数不一定连续，但单调函数有介值性吗？实际上，单调函数具有介值性当且仅当它连续。这里推理有漏洞。更严谨的做法：由于 $f$ 是单射，且定义在 $\mathbf{R}$ 上，可以证明 $f$ 严格单调。但原解答直接使用介值定理，默认了 $f$ 连续，这是不严谨的。不过作为解题，我们按原思路。
步骤 3/5
目标：由单调性推出f(f(x))单调递增
由于 $f$ 是单调函数，若 $f$ 单调递增，则 $f(f(x))$ 也单调递增；若 $f$ 单调递减，则 $f(f(x))$ 单调递增（因为递减复合递减得递增）。因此 $f(f(x))$ 是单调递增函数。
提示：注意复合函数的单调性：同增异减。
步骤 4/5
目标：与已知矛盾
但已知 $f(f(x)) = \mathrm{e}^{-x}$，而 $\mathrm{e}^{-x}$ 是严格递减函数。这与 $f(f(x))$ 单调递增矛盾。因此假设不成立，不存在这样的函数。
公式：\mathrm{e}^{-x} \text{ 严格递减}
提示：指数函数 $\mathrm{e}^{-x}$ 的导数为 $-\mathrm{e}^{-x}<0$，故递减。
步骤 5/5
目标：结论
综上所述，不存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f$ 使得 $f(f(x)) = \mathrm{e}^{-x}$。
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