上册 2.1 函数的连续性 第18题
📝 题目
18．设连续函数 $f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 在所有无理数处取有理数，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $Q$ 为有理数集，则 $Q$ 为可数集．函数 $f(x)$ 的值域 $R(f)$ 为至多可数集．
若 $R(f)$ 中有不等于 1 的有理点 $r$ ，不妨设 $r>1$ ，则由 $f(x)$ 的连续性，$[1, r] \subset R(f)$ ，但 $[1, r]$ 为不可数集，矛盾．故 $R(f)$ 为单点集，从而 $f(x)=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数值域的可数性
设 $\mathbb{Q}$ 为有理数集，则 $\mathbb{Q}$ 是可数集。由于 $f(x)$ 在所有无理数处取有理数，且有理数集可数，因此 $f(x)$ 的值域 $R(f)$ 是至多可数集。
提示：注意：值域可能包含有理数，也可能包含无理数，但题目条件限制无理数处的函数值为有理数，所以值域中的无理数只能来自有理数点，但有理数点也是可数的，因此值域至多可数。
步骤 2/6
目标：假设值域包含不等于1的有理数
假设存在 $r \in R(f)$ 且 $r \neq 1$，不妨设 $r > 1$（若 $r < 1$ 可类似讨论）。
提示：注意：这里假设 $r>1$ 是为了利用区间 $[1,r]$ 的不可数性，若 $r<1$ 则考虑区间 $[r,1]$。
步骤 3/6
目标：利用连续函数的介值性质
由于 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=1$，存在某点 $x_0$ 使得 $f(x_0)=r$。由介值定理，对于任意 $y \in [1, r]$，存在 $\xi$ 介于 $0$ 和 $x_0$ 之间，使得 $f(\xi)=y$。因此 $[1, r] \subseteq R(f)$。
公式：介值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意数 $c$，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi)=c$。
提示：注意：介值定理要求区间是闭区间，这里 $0$ 和 $x_0$ 之间的闭区间是 $[0,x_0]$ 或 $[x_0,0]$，但 $f$ 在端点取值分别为 $1$ 和 $r$，所以 $[1,r]$ 中的值都能取到。
步骤 4/6
目标：导出矛盾
区间 $[1, r]$ 是不可数集，但 $R(f)$ 是至多可数集，这与 $[1, r] \subseteq R(f)$ 矛盾。因此假设不成立，即 $R(f)$ 中不存在不等于 $1$ 的有理数。
提示：注意：不可数集不能包含于可数集，这是集合论的基本事实。
步骤 5/6
目标：确定值域仅含1
由上述矛盾可知，$R(f)$ 中所有有理数都等于 $1$。又因为 $f(0)=1$，且 $f$ 连续，若存在无理数 $y \in R(f)$，则 $y$ 也是 $f$ 在某点的值，但 $f$ 在无理数处取有理数，所以 $y$ 必须是有理数，矛盾。因此 $R(f)$ 中不能有无理数。所以 $R(f)=\{1\}$。
提示：注意：这里用到了条件“在所有无理数处取有理数”，即无理数点的函数值必须是有理数，所以值域中的无理数只能来自有理数点，但有理数点处的函数值也是有理数？实际上，条件只限制了无理数点，有理数点可以取任意实数，但通过连续性我们推出值域只有1。
步骤 6/6
目标：得出函数表达式
因此，对于所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $f(x)=1$。
提示：注意：这是唯一满足条件的函数。
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